2013年高中数学高考联赛山东、湖北、全国试题及江苏模拟试题.doc

2013年4月江苏省高中数学组卷模拟试题经典例题一选择题（共2小题）1一同学为研究函数f（x）=+（0x1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）11的零点的个数是（）A0B1C2D42设等差数列an的前n项和为Sn，且S150，S160，则中最大的是（）ABCD二填空题（共3小题）3已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_4函数f（x）的定义域为D，若满足f（x）在D内是单调函数，存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是_5如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_三解答题（共4小题）6已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1，F2，点P是椭圆上一点，且PF1F2的三边构成公差为1的等差数列（）求椭圆的离心率；（）若，求椭圆方程；（） 若c=1，点P在第一象限，且PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标7设fk（n）为关于n的k（kN）次多项式数列an的首项a1=1，前n项和为Sn对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立（I）若k=0，求证：数列an是等比数列；（II）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列8已知函数，（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x2，3上的最小值；（2）若xa，+）时，f2（x）f1（x），求a的取值范围；（3）求函数在x1，6上的最小值9已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数f（x）=2（），已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x0，）的取值范围参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1一同学为研究函数f（x）=+（0x1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）11的零点的个数是（）A0B1C2D4考点：根的存在性及根的个数判断1136511专题：函数的性质及应用分析：由题意可得函数f（x）=+=AP+PF，可得f（x）的最小值为，由于函数g（x）=5f（x）11的零点的个数，就是方程 f（x）=的解的个数，从而得出结论解答：解：由题意可得函数f（x）=+=AP+PF，当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1g（x）=5f（x）11=0，即 f（x）=由题意可得，函数g（x）=5f（x）11的零点的个数，就是方程 f（x）=的解的个数再由f（x）的最小值为，可得方程 f（x）=无解，故选A点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题2设等差数列an的前n项和为Sn，且S150，S160，则中最大的是（）ABCD考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和1136511专题：计算题分析：由题意可得 a80，a90，故等差数列an是递减数列，a8是正项当中最小的，a9 是负项当中最大的，得到S8最大，进而得 最大解答：解 由题意可得 S15=15a80，a80而S16=8（a8+a9）0a90故等差数列an是递减数列故a8是正项当中最小的，a9 是负项当中最大的，S8最大，故 最大，故选 C点评：本题考查等差数列的性质，前n项和公式的应用，判断a8是正项当中最小的，a9 是负项当中最大的，S8最大，是解题的关键二填空题（共3小题）3已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为2考点：三角函数的最值1136511专题：计算题分析：利用余弦定理与三角形的面积公式，化简为C的三角函数，通过两角和化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出表达式的最大值解答：解：在ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，所以=因为c2=a2+b22abcosC，所以=，ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，所以，即absinC=c2，=2sinC+2cosC=2sin（C+）2的最大值为：2故答案为：2点评：本题考查余弦定理与三角形的面积公式的应用，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力4函数f（x）的定义域为D，若满足f（x）在D内是单调函数，存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是（，a考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域1136511专题：新定义；函数的性质及应用分析：函数f（x）=+k 在定义域为2，+）内是增函数，由可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出 a和 b是方程 x2（2k+1）x+k22=0在2，+）上的两个根故有，解此不等式求得 k 的范围即为所求解答：解：函数f（x）=+k 的定义域为2，+），且在定义域内是增函数，故满足，又f（x）在a，b上的值域为a，b，f（a）=a，f（b）=b，+k=a，且 +k=b，a+2=（ak）2，且 b+2=（bk）2，且ka，kb即 ，故 a和 b 是方程 x2（2k+1）x+k22=0在2，+）上的两个根令 g（x）=x2（2k+1）x+k22，则有 ，解得 ak，那么k的取值范围是（，a，故答案为：（，a点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程 x2（2k+1）x+k22=0在2，+）上的两个根，是解题的难点，属于基础题5如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质1136511专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，ABF2为等边三角形，可求m的值，在AF1F2中，由余弦定理，可得结论解答：解：设ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m2a|AF1|=2m2a|AF1|AF2|=2a2m2am=2am=4a在AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，F1AF2=60由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）226a4ac=a=故答案为：点评：本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题三解答题（共4小题）6已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1，F2，点P是椭圆上一点，且PF1F2的三边构成公差为1的等差数列（）求椭圆的离心率；（）若，求椭圆方程；（） 若c=1，点P在第一象限，且PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标考点：椭圆的应用；椭圆的标准方程1136511专题：综合题分析：（）依题意：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），设P（s，t），利用向量的坐标及，即可求得椭圆的离心率；（）不妨设|PF1|PF2|，先确定|PF1|=2c1，|PF2|=2c+1，可得，由此可求椭圆方程；（）法一：先求出椭圆方程，设PF1F2的外接圆方程，利用F1（1，0）和P（s，t）在圆上，可表示圆心坐标与半径，利用PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，即可求得结论；法二：先求出椭圆方程，由题PF1F2的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则利用PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即可求点P的坐标解答：解：（）依题意：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），设P（s，t），由得：即，a=2c，椭圆的离心率是；（）不妨设|PF1|PF2|，由|F1F2|=2c，及PF1F2的三边构成公差为1的等差数列，再结合a=2c得：|PF1|=2c1，|PF2|=2c+1，所以，2得：c2=9，所以椭圆方程是（）法一：c=1，a=2c，a=2，b2=3，椭圆方程是，设P（s，t），则，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为2，设PF1F2的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，又F1，F2关于y轴对称，故D=0，即圆方程为x2+y2+Ey+F=0，由F1（1，0）和P（s，t）在圆上得：，则圆心坐标为，半径为PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，OM=|2r|或（此方程无解）解得：，由得：2t29t18=0，（舍去）或t=6（舍去）由得：2t2+9t18=0，或t=6（舍去），所以点P坐标法二：由题PF1F2的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则，由题s，t，m，r0，从而解得，所以点P坐标为点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查圆的方程，属于中档题7设fk（n）为关于n的k（kN）次多项式数列an的首项a1=1，前n项和为Sn对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立（I）若k=0，求证：数列an是等比数列；（II）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定1136511专题：综合题分析：（）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）即an+Sn=c，结合数列中an与 Sn关系求出数列an的通项公式后再证明（）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定解答：（）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2而且当n2时，an+Sn=2，an1+Sn1=2，得 2anan1=0（nN，n2）若an=0，则an1=0，a1=0，与已知矛盾，所以an0（nN*）故数列an是首项为1，公比为的等比数列（）解：（1）若k=0，由（）知，不符题意，舍去（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n2时，an+Sn=bn+c，an1+Sn1=b（n1）+c，得 2anan1=b（nN，n2）要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=bd（常数），而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an=1（nN*），故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an=1（nN*），此时f1（n）=n+1（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a0，a，b，c是常数），当n2时，an+Sn=pn2+qn+t，an1+Sn1=p（n1）2+q（n1）+t，得 2anan1=2pn+qp（nN，n2），要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+qpd，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n1）2p=2pn2p+1（nN*）故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为an=2pn2p+1（nN*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+12a（a为非零常数）（4）当k3时，若数列an能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列an不能成等差数列综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等差数列点评：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力8已知函数，（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x2，3上的最小值；（2）若xa，+）时，f2（x）f1（x），求a的取值范围；（3）求函数在x1，6上的最小值考点：函数最值的应用；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异1136511专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）因为a=2，且x2，3，所以f（x）=e|x3|+e|x2|+1=e3x+ex1，利用基本不等式，可求在x2，3上的最小值；（2）由题意知，当xa，+） 时，e|x2a+1|e|xa|+1，即|x2a+1|xa|+1 恒成立即2ax3a22a 对xa，+） 恒成立，由此可求a的取值范围；（3）记h1（x）=|x（2a1）|，h2（x）=|xa|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为1，分类讨论，即可求得g（x）在x1，6上的最小值解答：解：（1）因为a=2，且x2，3，所以f（x）=e|x3|+e|x2|+1=e3x+ex1=2e，当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x2，3上的最小值为2e 4分 （2）由题意知，当xa，+） 时，e|x2a+1|e|xa|+1，即|x2a+1|xa|+1 恒成立6分所以|x2a+1|xa+1，即2ax3a22a 对xa，+） 恒成立，则由，得所求a的取值范围是0a29分（3）记h1（x）=|x（2a1）|，h2（x）=|xa|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为1当12a16，即1a时，g（x）在x1，6上的最小值为f1（2a1）=e0=110分当a1时，可知2a1a，所以（）当h1（a）h2（a），得|a（2a1）|1，即2a0时，在x1，6上，h1（x）h2（x），即f1（x）f2（x），所以g（x）=f2（x）的最小值为f2（1）=e2a；（ii）当h1（a）h2（a），得|a（2a1）|1，即a2或0a1时，在x1，6上，h1（x）h2（x），即f1（x）f2（x），所以g（x）=f1（x）的最小值为f1（1）=e32a；当a时，因为2a1a，可知2a16，且h1（6）=2a7a5=h2（6），所以（）当时，g（x）的最小值为f2（a）=e（ii）当a6时，因为h1（a）=a11=h2（a），在x1，6上，h1（x）h2（x），即f1（x）f2（x），所以g（x）在x1，6上的最小值为f2（6）=ea515分综上所述，函数g（x）在x1，6上的最小值为16分点评：本题考查函数最值的运用，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度大，综合性强9已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数f（x）=2（），已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x0，）的取值范围考点：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值1136511专题：计算题分析：（1）由可得，从而可求tanx，而（2）由正弦定理得， 可求A=代入可得，结合已知x可求函数的值域解答：解：（1）（2分）（6分）（2）由正弦定理得，所以A=（9分）所以（12分）点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，利用1=sin2x+cos2x的代换，求解含有sinx，cosx的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1.设集合A=2，0，1，3，集合B=，则集合B中所有元素的和为 _2.在平面直角坐标系中，点A、B在抛物线上，满足，F是抛物线的焦点则=_3.在ABC中，已知，则的值为_4.已知正三棱锥PABC底面边长为1，高为，则其内切球半径为_5.设，为实数，函数满足：对任意0，1，有则的最大值为_6.从1，2，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_7.若实数，满足，则的取值范围是_8.已知数列共有9项，其中，且对每个1，2，8，均有，则这样的数列的个数为_二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）给定正数数列满足，=2，3，这里证明：存在常数，使得，=1，2，10. （本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于和的任意一点若平面中两个点Q、R满足，试确定线段QR的长度与的大小关系，并给出证明11.（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意实数，有2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆分别相交于点C、D求证：EFCD=ACBD（解题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）给定正整数，数列定义如下:,对整数， 记）证明：数列中有无穷多项是完全平方数三、（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中，为给定的整数每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得零分每个学生的总分为其道题的得分总和将所有学生总分从高到低排列为，求的最大可能值四、（本题满分50分）设，为大于1的整数，证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被整除2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知集合当时，实数的取值范围是（ ）(A) . (B). 或 (C). (D)或2过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）(A) . (B). (C). (D)43设均为非零复数，令，若，则的值为（ ）(A) . 1 (B). (C). (D)4设是上的单调函数，且对任意，都有若是方程的一个解，且，则的值为（ ）(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)45内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)396已知实数满足则的最大值是（ ）(A) . 7 (B). (C). (D)3二填空题（本题满分30分，每小题5分）7若，则的最大值是 8长方体中，则异面直线与的距离为 9椭圆的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是 10将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种11已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列的前项和= 12数列中，则此数列的通项公式= 三解答题13设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：.14.已知数列满足为实数）（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：15如图，锐角ABC中，ABAC,且点D和E在边BC上，满足BD=CE.若在ABC内存在点P满足PD|AE且PAB=EAC，证明: PBA=PCA.16.设点P为圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过直线上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C、D，求的取值范围. 1. (B). 2. (D)3. (C). 4. (B) 5. (C) 6. (A) . 二填空题（本题满分30分，每小题5分）7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. 解: ()是方程的两个根， ， ，同理可得 ， （5分）（），当时，在上单调递增 （10分）（）， 由（）可知，同理， ， （15分）由（）可知， （20分）14. 解: ()当时，由得，即时，. （5分）下面证明当时，.当时，成立；设当时，成立；则当时，故对所有，成立.当时，成立， 故对所有，成立.综上，的取值范围是. （10分）（）当时， （），（）， （15分）. （20分）15.证明:如图,作平行四边形和平行四边形，则，又， 故， （5分），所以，又，则、三点共线. （10分）因此，,故、四点共圆，又由于,故，（20分）故. （25分）16.解：()设点，由，得， 由于点在上，所以，即的轨迹方程为. （5分） （）设点，则，的方程为，又点 在、上，则有：， （10分）由、知的方程为：，设点，则圆心到的距离，则； （15分）又由，得，于是，于是，设，则，于是，设，于是，（20分）设，令，得.，得在上单调递增，故.，即的范围为.（25分）2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛参考答案及评分标准一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1函数值域是2已知复数满足，则的最大值是3如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点，则的值是4如果关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是5已知正数满足，则的最小值是6已知对，恒成立，则实数的取值范围是7已知，则符合上述条件的共有组8已知函数，对，有，则9用五种不同颜色给三棱台六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有种10假设实数满足，且的图像上存在两条切线垂直，则实数的取值范围是11（本小题满分15分）如图所示，在长方体中，已知，若对角线上存在一点P使得，求实数的取值范围12（本小题满分15分）已知椭圆的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点，求该平行四边形面积的最大值13（本小题满分20分）已知数列的前项和满足 试求数列的通项公式； 设，求证：列的前项和14（本小题满分20分）已知均为正整数，且，是一素数，的进制表示分别为，其中，用