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空间向量应用2在立体几何证明中的应用 一 用空间向量处理 平行 问题 一 用空间向量处理 平行 问题 M N 例1 如图 ABCD与ABEF是正方形 CB 平面ABEF H G分别是AC BF的中点 且AH GF 求证 HG 平面CBE P y z x 证明 分别以BE BA BC为x y z轴建立空间直角坐标系o xyz 设正方形边长为2 变式 将题中的 H G分别为GA BF的中点 改为 AH GF 求证 HG 平面CBE o z y 证明 由已知得 AB BC BE两两垂直 故可建立如图所示的空间直角坐标系o xyz x 设正方形边长为1 AH FG a 则H 0 1 a a G 1 a 1 a 0 故 而平面CBE的法向量为 0 1 0 故 而平面CBE故HG 平面CBE R 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q分别是A1B1和BC上的动点 且A1P BQ M是AB1的中点 N是PQ的中点 求证 MN 平面AC z y x o 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 设正方形边长为2 又A1P BQ 2x 则P 2 2x 2 Q 2 2x 2 0 故N 2 x 1 x 1 而M 2 1 1 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面A1BD 平面CB1D1 于是平面A1BD 平面CB1D1 o z y x 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 例4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是A1B1 B1C1 C1D1 D1A1的中点 求证 平面AEH 平面BDGF 故得平面AEH 平面BDGF o z y x 略证 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则求得平面AEF的法向量为 求得平面BDGH的法向量为 显然有 故平面AEH 平面BDGF 二 用空间向量处理 垂直 问题 二 用空间向量处理 垂直 问题 F E X Y Z 证明 分别以为坐标向量建立空间直角坐标系 例6 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 3 a E F分别是BB1 CC1上的点 且BE a CF 2a 求证 面AEF 面ACF A F E C1 B1 A1 C B x z y A F E C1 B1 A1 C B z y 不防设a 2 则A 0 0 0 B 3 1 0 C 0 2 0 E 3 1 2 F 0 2 4 AE 3 1 2 AF 0 2 4 因为 x轴 面ACF 所以可取面ACF的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面AEF的法向量 则 x nAE 3x y 2z 0 nAF 2y 4z 0 x 0 y 2z 令z 1得 n 0 2 1 显然有mn 0 即 m n 面AEF 面ACF 证明 如图 建立空间直角坐标系A xyz 求证 平
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