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文档简介
角平分线有关的辅助线角平分线是天然的涉及对称的模型,通常有下列四种作辅助线的方法:(1)角平分线+两边垂线全等三角形:角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边距离相等;已知:AD平分BAC,CDAC,垂足为C,过点D作DBAB,垂足为B;辅助线:过点D作DBAB,垂足为B;结论: ACDABD; CD= DB(角分线垂两边,对称全等必呈现)(2)角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现:遇到垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形; 已知:OP平分AOB,MPOP,垂足为P,延长MP交OB于点N;结论: OPMOPN ; OMN为等腰三角形; P是MN的中点(三线合一);(3)在角的两边上截取相等的线段,构造全等三角形:已知:OC是AOB的角平分线,D为OC上一点;辅助线:在OA上取一点E,在OB取一点F,使得OE=OF,并连接DE,结论:OEDOFD ;(4)作平行线 以角分线上一点作角的另一边的平行线,则OAB等腰三角形; 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交,则ODH等腰三角形;已知:OP平分MON,ABON, 已知:OC平分AOD,DHOC,结论: OAB等腰三角形 结论: ODH等腰三角形1、 角平分线模型应用1. 角平分线+两边垂线全等三角形 辅助线:过点G作GE射线AC已知:AD是BAC的角平分线,CDAC,DBAB,求证:CD=DB证明:AD是BAC的角平分线,1=2,CDAC,DBAB,ACD=ABD=90,在ACD和ABD中,ACDABD(AAS)CD=BD例1:已知:1=2,3=4,求证:AP平分BAC例2:如图,ABAC,A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DEAB、DFAC, 垂足分别为E、F求证:BE=CF例3:如图,在ABC中,ACAB,M是BC中点,AN平分BAC,若ANBD且交BD的延长线于点D, 求证:MN=(AC-AB).例4:如图,在ABC中,M为BC的中点,DMBC,DM与BAC的角平分线交于点D,DEAB,DFAC,E、F为垂足,求证:BE=CF角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现例:如图,在RtABC中,AB=AC,BAC=90,1=2,CEBE交BA的延长于F求证:BD=2CE例、如图,在ABC中,BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CMAD交AD的延长线于M. 求证:2AM=(AB+AC)例:如图,已知ABC中,CF平分ACB,且AFCF,AFE+CAF=180,求证:EFBC.截取构造全等:例.如图,ABAC,1=2,求证:ABACBDCD。例:如图,AB/CD,BE平分ABC,CE平分BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD.例:在中,是的平分线是上任意一点求证: 例:已知ABC中,ABAC,A100,B的平分线交AC于D,ACBD求证:ADBDBC角平分线+平行线模型例1、ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O,MN经过点O,且 MNBC交AB、 A C分别于点M、N;求证:
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