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第五章 平面向量与复数 向量的应用 第34讲 平面向量与三角函数 点评 本题是以平面向量的知识为平台 考查了三角函数的恒等变换及相关运算 向量与三角函数的结合 既符合在知识的 交汇处 命题 又加强了对双基的考查 平面向量在几何中的应用 例2 如图 四边形abcd是正方形 p是对角线db上的一点 四边形pecf是矩形 证明 1 pa ef 2 pa ef 点评 向量是解决图形问题的有力工具 而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条件 实现了形向数的转化 本题中 由于四边形abcd是正方形 因此可以用坐标法解题 用平面向量证明平面几何问题时 要根据题目的条件选择用基向量法还是用坐标法 变式练习2 已知 abc中 c为直角 ca cb d是cb的中点 e是ab上的点 且ae 2eb 求证 ad ce 平面向量在物理中的应用 例3 如图 用两根绳子把重10n的物体w吊在水平杆子ab上 acw 150 bcw 120 求a和b处所受力的大小 忽略绳子的重量 点评 利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力 分力 运动学等许多问题 也为数学应用于实际开辟了新的途径 2 点p在平面上作匀速直线运动 速度向量v 4 3 即点p的运动方向与v相同 且每秒移动的距离为 v 个单位长度 设开始时点p的坐标为 10 10 则5秒后点p的坐标为 解析 5秒后点p的坐标为 10 10 5 4 3 10 5 10 5 x y 1 0 4 已知 abc的顶点的直角坐标分别为a 3 4 b 0 0 c c 0 1 若c 5 求sin a的值 2 若 a是钝角 求c的取值范围 2 向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景 如物理中的重力 浮力 弹力 速度 加速度等都是既有大小又有方向的量 力的做功是向量数量积的物理背景 向量的加法运算 平面向量的正交分解 平面向量的数量积等与相应的物理问题建立联系 向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成 力的合成 速度的合成相联系 向量在解决相关物理问题中有重要作用 注意两个方面的问题 一方面是如何把物理问题转化成数学问题 也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型 另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象 选题感悟 向量经常会与其他数学知识联系起来 特别是与三角函数问题相联系 解答这类问题时 关键是要熟练地通过公式 将向量问题转化为一般地数学问题进行求解
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