用方差、标准差估计总体.ppt

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 二 二 用样本的标准差估计总体的标准差 数据的离散程度可以用极差 方差或标准差来描述 为了表示样本数据的单位表示的波动幅度 通常要求出样本方差或者它的算术平方根 来衡量这组数据的波动大小 并把它叫做这组数据的方差 一组数据方差越大 则这组数据波动越大 那么我们用它们的平均数 即 2 标准差 我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量 计算标准差的算法 S2算出每个样本数据与样本平均数的差 i 1 2 n S3算出 i 1 2 n S4算出 i 1 2 n 这n个数的平均数 即为样本方差s2 S5算出方差的算术平方根 即为样本标准差s 例1 计算数据5 7 7 8 10 11的标准差 S5 所以这组数据的标准差是2 例2 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试 得数据如下 单位 h 1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平均数x和样本的标准差 解 按键 继续按下表按键 SHIFT SHIFT x n x 解2 打开Excel工作表 在一列输入数据 如将10个数据输入A1到A10单元格中 1 利用求和 计算它们的和 2 用函数AVERAGE A1 A10 求它们的平均数 3 用函数VARPA A1 A10 求它们的方差 4 用开方函数Sqrt 方差 计算它们的标准差 例3 计算数据89 93 88 91 94 90 88 87的方差和标准差 标准差结果精确到0 1 解 所以这组数据的方差为5 5 标准差为2 3 例4 从甲 乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛 对他们的射击水平进行测试 两人在相同的条件下各射击10次 命中环数如下 甲 7 8 6 8 6 6 8 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 1 计算甲 乙两人射击命中环数的平均数和标准差 2 比较两人的成绩 然后决定选择哪一人参赛 2 由 1 知 甲 乙两人平均成绩相等 但s乙 s甲 这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些 从成绩的稳定性考虑 可以选乙参赛 3 标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知 如果样本各数据都相等 则标准差得0 这表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 若个体的值与平均数的差的绝对值较大 则标准差也较大 表明数据的波动幅度也很大 数据的离散程度很高 因此标准差描述了数据对平均数的离散程度 4 方差的运算性质 练习 3 若k1 k2 k8的方差为3 则2 k1 3 2 k2 3 2 k8 3 的方差为 4 32 12 A B 7 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 9 5 0 016 五 回顾小结 1 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 用样本平均数估计总体平均数 用样本方差 标准差估计总体方差 标准差 样本容量越大 估计就越精确 2 方差 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小 反映了一组数据变化的幅度 1 甲 乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定 解 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也为10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24 因为0 24 0 02 所以 由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定 2 为了保护学生的视力 教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换 已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差 解 各组中值分别为165 195 225 285 315 345 375 由此算得平均数约为 165 1 195 11 225 18 255 20 285 25 315 16 345 7 375 2 267 9 268 天 这些组中值的方差为 1 165 268 2 11 195 268 2 18 225 268 2 20 255 268 2 25 285 268 2 16 315 268 2 7 345 268 2 2 375 268 2 1