二次函数的根与系数的关系.doc

二次函数的根与系数的关系一、 交点间的距离1、设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值已知关于x的二次函数y=x22mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1x2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；(A)（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想 （答案：10）(B)（3）当m=0，无论k为何值时，猜想AOB的形状证明你的猜想 （答案：直角三角形）二、直线和抛物线相交，有两个交点，知道一个交点坐标求另一个交点坐标。(常用方法：把过交点的直线设出来，联立二次函数，消去y，再运用跟与系数的关系求出另一交点坐标)(A)如图，A为抛物线的顶点，c为二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，ACO=150，求b的值(A)如图，A为抛物线的顶点，c为二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，ACO=45，求b的值；若ACO=30呢？如图，抛物线y=x2+bx+3与x轴正半轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴正半轴交于点C，对称轴为x=2； （1）求抛物线的解析式； (答案：y=x2-4x+3) (B)（3）如图，平移抛物线使顶点为H（0，-4），点P在抛物线上，PEx轴，若PH平分APE，求直线PA的解析式.如图，抛物线C1：y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于C点.（1）点T为抛物线C1对称轴左侧上的点，作AEOT于E，CFOF于F，当CF=2AE时求OT的解析式；（2）设G为抛物线C1的顶点，将抛物线C1向右平移，直线GB交新抛物线C2对称轴右侧于H点，若SAGH=7，求抛物线C1平移的距离；（3）将抛物线C1沿y轴翻折得到新抛物线C3，过C点作直线L交抛物线C1于M点，交交抛物线C3于N点，若MN=82，求直线L 的解析式.如图，抛物线y=x2-4x+5的顶点为M，且与y轴交于点C，MAx于A.(1)将AOM沿y=x翻折，请验证M的对应点是否在抛物线上；答案：N（1,2） (2)过N点作直线L，交抛物线于P点，交y轴于点E,连接PC，若PE=PC,求L的解析式；(3)平移直线y=x交抛物线于H、K两点，若SMHK=3，求平移后直线的解析式.三、关于坐标轴对称问题(A+)如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A、B、C三点，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分线段PQ，求k值.(两种方法：由全等三角形的对应边相等列方程；联立后，运用根与系数的关系)（答案：k=-2）(A+)如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-2.5)的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式 （答案：y=x-2.5）(两种方法：由全等三角形的对应边相等列方程；联立后，运用根与系数的关系)(A+)如图，已知抛物线y=-x+3x+6交y轴于A点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于C点成中心对称，求n的值。 （答案：n=2） (B)如图，已知抛物线C：y=x2-2x+4和直线l：y=-2x+8直线y=kx（k0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，与直线l交于点P，分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分别为A1，B1，P1（1）证明：；（2）是否存在实数k，使A1A+B1B=8？如果存在，求出此时k的值；如果不存在，请说明理由（答案：不存在）-分隔线-(B)如图，已知抛物线y=-x+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。 答案：N(，2) M(-，-2)-分隔线-分隔线-下面还没有整理的如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C下面五个结论：2a+b=0；a+b+c0；4a+b+c0；只有当a=时，ABD是等腰直角三角形；使ACB为等腰三角形的a的值可以有三个那么，其中正确的结论是如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。1.求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；2.P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；3.点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。4、如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。-分隔线-解：抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为根据题意，得，解得抛物线的解析式为由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x1。若以CD为底边，则PDPC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y4x。又P点(x,y)在抛物线上，即解得，应舍去。EF，即点P坐标为。若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x1对称，此时点P坐标为（2，3）。符合条件的点P坐标为或（2，3）。由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB,CD,BDBCD90设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45,由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标M为（2，3），DMBC,四边形BCDM为直角梯形由BCD90及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。-分隔线-xyF-2-4-6ACEPDB521246G5、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. -分隔线-解：（1）由题意得： 解得： 抛物线解析式为：（2）在抛物线上，点