数学文化七课件

1 从勾股定理到费马大定理 2 开篇 我们感到有可能和比我们水平高许多的数学接触 这种数学的力量和美尽管只能简单地一瞥 也构成了丰富我们思想的基础 并在我们作为数学使用者和数学教师的朴素活动中给了我们长期反省的机会 L Felix 2 3 引言 本章涉及问题 二元一次不定方程 勾股定理及有关问题和费马大定理 我们从初中就开始了方程的学习 如一元二次方程二元一次方程 4 引言 不定方程是这样一种方程 其中变量的个数多于方程的个数 并且未知数还要受到某种限制 如要求未知数是整数或有理数 我们主要讨论三个比较有名的问题 百鸡问题 勾股定理和费马大定理 5 5 1一次不定方程 确定性方程 不定方程的特点是变量个数多于方程的个数 并且解有某些限制 如限制为正整数或有理数等 不定方程的解比较复杂 不定方程的研究起源于大约公元3世纪的丢番图 Diophantus 活动于公元250年前后 6 5 1一次不定方程 我国古代 的商高定理 勾三股四玄五 就属于此类 商高定理远在丢番图之前 是公元前1世纪的著作 是一部讲盖天学说的天文学著作 书中有较复杂的开方和分数运算 而其中的商高是大约活动在公元前1000年左右 对不定方程研究的内容 1 解的存在性问题2 解的个数问题3 确定解的完全组4 解的界的估计 9 5 1 1通解公式 对于一般的二元一次不定方程ax by c 我们有以下结论 10 5 1 1通解公式 11 5 1 1通解公式 例 求解百鸡问题解 百鸡问题可以化为7x 4y 100有解 0 25 可得 x 4t y 25 7t 4 18 8 11 12 4 化成原问题的解为 0 25 75 4 18 78 8 11 81 12 4 84 例求10 x 7y 17的全部解解 由于 1 1 是一个特解 故一般解的形式为 12 5 1 2整数的模 定义一个整数集合构成一个模 如果它对加减是自封闭的 定理21 任何模中必含有0 2 若a b在模中 则ma nb也在模中 其中m n为任意整数 定理3对任何两个整数a和b 所有形如am bn的全体整数形成一个模 定理4任何一个非0的模都是某正整数倍数所组成的集合 从以上几个定理 特别是定理4 可以大体上看出模的结构 它是某个整数的倍数的集合 这个整数是这个集合的最小数 13 5 1 2整数的模 定义设a b是两个正整数 在定理4中取一切形如am bn的数所成之模 模中的最小整数d称为a与b的最大公因数 记为 a b 定理5 a b 具有如下性质 1 存在整数x y 使得 a b ax by 2 对任意两个整数x y 必有 a b ax by 3 如果任一整数e e a e b 则e a b 14 5 1 3可解的充要条件定理6二元一次方程ax by c有解的充要条件是 a b c 例 判断下列二元一次不定方程是否有解 1 10 x 7y 172 117x 21y 383 18x 24y 94 107x 37y 25 15 5 1 4求二元一次方程的解求解的过程一般分为三步 判断方程是否有解 先求出最大公约数 a b 并判断是否有 a b c 若 a b 不能整除c 则其方程无解 若 a b c 则方程有解 设法求出一组特解 然后利用公式求出通解 如果特解不易用视察法求 则用辗转相除法求解 例 求107x 37y 25的一切整数解 例 求117x 21y 38的解 16 5 1 5二元一次方程的非负解有些问题只要求非负解或正解 如百鸡问题 我们这一节只讨论非负解的问题 当a b异号时 不定方程有无穷多组非负解 所以我们只考虑a b为正数的情况 而且可以只考虑 a b 1的情况 17 5 2勾股定理 5 2 1问题A 设x y分别是直角三角形的两直角边的长度 而z是斜边的长度 求x y z皆为整数的直角三角形 或求方程的所有整数解 设x y z是任意三角形的三条边的长度 当x y z是整数时 求面积是整数的全体三角形 18 c 求 19 勾股定理 毕达哥拉斯定理 的重要意义 它的证明是论证数学的发端 它是历史上第一个把数与形联系起来的定理 即它是第一个把几何与代数联系起来的定理 它导致了无理数的发现 引起了第一次数学危机 大大加深了人们对数的理解 勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程 它引出了费马大定理 它是欧氏几何的基础定理 并有巨大的实用价值 5 2 2第一个重要定理 勾股定理 20 定理1 勾股定理 若直角三角形的三条边的长度分别为a b c 其中c为斜边 则反过来 若三角形的三条边a b c满足则该三角形是直角三角形 5 2 2第一个重要定理 勾股定理 21 欧几里德的证明 正定理的证明 图5 1 5 2 2第一个重要定理 勾股定理 22 逆定理的证明 图5 2 23 勾股定理包括几何和数论两个方面 几何方面指 直角三角形斜边的平方等两直角边的平方和 边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积 因而勾股定理的几何方面就表现为面积 5 2 3勾股定理的几何方面 24 中国古代数学家赵爽 公元三世纪 的证明 5 2 3勾股定理的几何方面 图5 3 25 从数论方面看勾股定理就是求不定方程的所有整数解 引理1 5 2 4勾股定理的数论方面 26 引理2定理2 5 2 4勾股定理的数论方面 27 定理2的三种证明方法 初等方法 几何方法 高斯整数法已知x边求本原三解形已知y边求本原三解形已知z边求本原三解形 5 2 4勾股定理的数论方面 5 3与勾股定理有关的问题 28 29 5 4费马大定理 费马 Fermat1601 1665 法国人 法学家 一生都在做官员和议员 数学只是他的业余爱好 但他却对数学做出了巨大贡献 他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何 他是微积分的先导之一 同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一 业余数学家之王 数论之父 30 费马在读 算术 时 在有不定方程的那页边上 写出了具有历史意义的一段文字 但一个立方数不能分拆为两个立方数 一个四次方数不能分拆为两个四次方数 一般说来 除平方之外 任何次幂都不能分拆为两个同次幂 我发现了一个真正奇妙的证明 但书上的空白太小 写不下 5 4 1费马大定理 31 费马已声称他证明了这一事实 不存在正整数x y z 使这个命题以前称为费马猜想 95以来称为费马大定理或费马最后定理 费马是否证明了这一定理呢 然而很可能的是 他像成千上万的后人一样 自以为证了出来实际上却是证错了 5 4 1费马大定理 32 问题的解决 1995年 世界权威的学术刊物 数学年刊 以满满一整期的篇幅发表了英国数学家安德鲁 怀尔斯 A Wiles 1953 4 11 的108页的论文 模曲线与费马大定理 解决了这一提出时间长达358年的猜想 1996年他因此获得沃尔夫奖 1998年又荣获菲尔兹特别奖 他的工作被誉为 20世纪最伟大的数学成就 5 4 1费马大定理 33 费马大定理的意义 费马大定理不仅是数论中的一个著名难题 更重要的是 正如著名数学家希尔伯特指出的 它是一只 会下金蛋的鹅 它给整个数学带来了巨大财富 促进了代数数论和代数几何的建立 还发展了一系列先进的数学技术 形成了现代数学无尽的前沿 5 4 1费马大定理 34 费马发明了无穷递降法并以此自豪 他肯定的说 他的所有证明都使用这一方法 这一方法往往用来证明整数的某些性质或关系式不可能成立 证明的方法是 如果这些性质对任何正整数成立就会对某些更小的正整数成立 而且还有更小的正整数 所以这是不可能的 5 4 2无穷递降法 35 下面我们用费马的无穷递降法来证明下面这个比较简单的定理 定理1定理2定理 是定理 的推论 5 4 2无穷递降法 36 只要把无穷递降法与勾股定理的证明结合起来就可以证明n 4的费马定理 系对任何正整数m 方程无解 5 4 3n 4的费马定理 37 欧拉证明了n 3的情况 在1753年8月4日给哥德巴赫的信中 他声称证明了n 3时的费马大定理 但没有给出证明 直到1770年 他才在 代数学入门 中给出了证明 成为费马大定理特例中首先公开发表的证明 但遗憾的是 他的证明有严重的缺陷 幸好在n 3时这个缺陷是可以弥补的 欧拉的证明方法 在无穷下降法的基础上 用到了一类的数 可惜这一方法不能推广到证明其它指数的情形 5 4 4n 3的情形 38 1816年 法国科学院首次宣布为费马大定理设奖 奖励由奖章和奖金组成 但该奖项一直无人领取 1850年 又二次设奖 同样无人领取 可见证明的难度 1825年 法国数学家勒让德证明了P 5的情形 同时证明的还有德国数学家狄利克雷 1832年 狄利克雷证明了n 14的情形 1839年 法国数学家拉梅证明了n 7的情形 5 4 5初等方法的结束 39 拉梅利用n次单位复根 由此得出分圆整数 提出了新的证明方法 1847年3月1日 拉梅向巴黎科学院的部分院士作报告 宣布他证明了费马猜想 但这方法中有一个致命的错误 并被刘维尔当场指出 初等方法至此告一段落 5 4 5初等方法的结束 40 到1993年 数学家证明了当n不超过400万时费马定理成立 欧拉猜想 一个平方数可以分解为两个平方数之和 一个立方数至少要分解为三个立方数之和 一个四次方数不能分解为少于四个四次方数之和 但在欧拉后200年 兰德和帕金用计算机算出 5 4 6热尔曼的贡献 41 诺 埃尔基斯在哈佛证明 存在无穷多个情况 一个四次方数可以分解为三个四次方数之和 最小的情况是 这说明欧拉的猜想是不对的 5 4 6热尔曼的贡献 质疑无罪 权威也有犯错的时候 42 5 4 6热尔曼的贡献 热尔曼 1776 4 1 1831 6 27 法国数学家 她是一位富商的女儿 常常设法从当地的图书馆里借书籍 并且在家自学拉丁文 希腊文和数学 热尔曼进不了巴黎综合工科学校 只能借阅其他学生的笔记 后来她冒用男子之名寄出了一篇文章 拉格朗日对这份报告的价值惊叹不已 当他发现作者是名妇女以后 便做了她的保护人 这也是很值得赞扬的 热尔曼甚至使自负的高斯也注意到了她的成就 高斯保举她获得格廷根大学名誉博士学位 但是热尔曼在接受这个学位之前就离开了人世 43 热尔曼费马定理上的贡献 热尔曼首先对指数n进行划分 分成第一种从属情况和第二种从属情况 第一种从属情况是指p除不尽x y z中的任何一个 第二种从属情况是指p至少能除尽x y z中的一个 定理如果p是奇素数 2p 1也是奇素数 则对指数p 费马大定理的第一种情形成立 定理设n是一个奇素数 若存在一个辅助素数p 具有下述性质 5 4 6热尔曼的贡献 44 利用这个定理 热尔曼证明了 对小于100的素数 费马定理的第一种情形成立 勒让德把这一结果推广到所有小于197的素数 热尔曼的定理还适合于许多其它素数的情况 5 4 6热尔曼的贡献 科学道路 巾帼不让须眉 45 1844 1847年 德国数学家库默尔做出新的突破 利用分圆数域库默尔证明了正则素数时的费马大定理 他找到了正则素数的判别法 因为只解决了部分问题 因而法国科学院只授与他奖章而没有授与他奖金 库默尔创立的理想数论开辟了代数数论研究 成为费马大定理证明史上的一个里程碑 5 4 7库默尔的工作和理想数 46 从丢番图的关于不定方程的研究 可以看到不定方程的解是一条曲线 后来人们重点研究各种曲线的特点 从这种方法入手 1983年法尔廷斯证明了蒙德尔猜想 这是费马大定理的第二次突破 法尔廷斯定理 5 4 8从丢番图到维尔斯 47 1955年 日本数学家谷山一志村猜想 有理数域上的每一条椭圆曲线都