立体几何各种角.doc

1、异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：090.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.例1.如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F、G分别是AB、CD、BC的中点. （1）、求证：EG平面ACD；(2)、求线段EF的长； （3）、求异面直线BC、AD所成角的大小.例1.证明:（1）E、G分别为AB、BC的中点， EGAC，又AC 平面ACD ，EG 平面ACD，EG/平面ACD(6分)（2）连CE、DE，在等边ABC中，EC=DE=a，EF是等腰ECD底边上的高，EFCD，EF=a(6分)（3）方法一：连AG、DG，易知BCAG、BCDG，BC面AGD，则BCAD，BC，AD所成角为900，方法二：取AC中点H，连EH、FH，则=EHF是BC、AD所成的角EHBCa, FH=AD=a, 由（1）知EF a EH2+FH2=EF2 =900. (6分)2、直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围090(2)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BCAD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点。例2.（）证明：EF平面ABCD；（）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角的正弦值.（）证明：连结BD在PBD中，E，F分别为PB、PD中点, EFBD 又EF平面ABCD，BD平面ABCDEF平面ABCD（）解：取AD中点G，连接CG、PG 四边行ABCD中，BCAD，AD=2BC CGAB 又ABAD，ABAP，APAD=A AB平面PADCG平面PAD, GPC是PC与平面PAD所成的角 设PA=2a，则AB=CG=2 a，BC=AG= a, AC=a PC=3a 在RTPGC中，sinGPC=3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180（3）二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.B1BACC1A1D例3、如图：已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，连结AB1、AC1，设D为A1B1的中点，（1）证明：平面A1B1BA；（两种方法）（2）求面AC1B1与面A1AB1所成的二面角正切值.例3、证明：（1）A1A面A1B1C1，A1A面A1B1BA面A1B1BA面A1B1C1。又在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边A1B1的中点B1BACC1A1DC1DA1B1，而面A1B1BA面A1B1C1= A1B1平面A1B1BA；（2）在面A1B1BA中，过D作DEAB1于E，连C1E平面A1B1BA， AB1且DEAB1，C1DDE=DAB1平面DECC1EAB1故C1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角。在Rt中，A1A=，A1B1=，故DB1=，ABADE=，又C1D=，所以面面垂直性质定理：两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。面面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。练习：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（）求该安全标识墩的体积；（）证明：直线平面. 解：该安全标识墩的体积为：VVPEFGH+ VABCDEFGH （）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知