透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点.doc

习题精选精讲透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。三、与三角函数有关的五大热点问题1三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。例1.(06重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 例2.（06山东卷）已知函数f(x)=A(A0,0,00，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。注本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（） 分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下： 分析二： 解法如下： 注换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。例4、已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以点评本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一例5、已知向量，向量与向量的夹角为，且，（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。解：（1）设，由，有向量与向量的夹角为，有，则由、解得：（2）由与垂直知，由若，则，例6如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC=，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示S1和S2；（）当a固定，变化时，求取最小值时的角解：（1）设正方形边长为，则（2）当固定，变化时，令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o注三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。三角高考数学题的常规解题途径 由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。途径1：化成“三个一” “三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。 例1. （2004年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。 分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。 简解： 所以 评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。 途径2：化成“两个一” 若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。 例2. （2004年广东）当时，函数的最值为（ ） A. B. C. 2D. 4 分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走途径2。 ，选（D）。分析2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为，利用辅助角，得函数，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。 途径3：边角转换 若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。 例3. 在中，分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角B；（2）若，求a的值。 简解1（边化角）： 简解2（角化边）： （2）因为， 所以， 得或3 评注：有些学生把条件变形为后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。 途径4：三角变换 三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。 例4. （2002年全国）已知，求的值。 分析：本题是由角的余弦求角的余弦，故用角变换。因为，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。 简解： 因为， 所以 故 评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。 途径5：等价转化 有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。 例5. （2004年广东）已知成公比为2的等比数列（），且也成等比数列，求的值。 分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为，代入后，再选用途径4求解。 简解： 因为 所以 所以 即 所以。以下从略。高三期末(11套)数学试卷分类汇编三角函数15（本题满分14分）已知，求和的值解：2.函数的最小正周期是 . 15（本小题满分14分）在中，角A、B、C的对边分别为，已知向量且满足，（）求角A的大小；（）若试判断的形状。15（1）（2）。2已知，则= 16（本小题满分16分）已知向量，若函数的图象经过点和（I）求的值；（II）求的最小正周期，并求在上的最小值；（III）当时，求的值16（I）（II），的最小正周期为当或时，的最小值为1（III）两边平方得，解得1.函数的最小正周期是 . 4.已知，则值为 .715. （本小题满分14分）在中， 所对边分别为.已知,且.（）求大小.（）若求的面积S的大小.15. 解: 解：（I），0. 2分 4分 6分 8分（II） 中，. 10分 12分的面积 14分7方程（为常数，）的所有根的和为 017（本小题共15分）、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线 （）如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形的三顶点分别放在，上，求这个正三角形的边长；（）如图，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形的三顶点分别放在，上，如果能放，求和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？（）如果边长为2的正三角形的三顶点分别在，上，设与的距离为，与的距离为，求的范围？（第17题）17不妨设 （）到直线的距离相等，过的中点，1分 2分 边长4分（）设边长为与的夹角为，由对称性，不妨设， 6分 7分两式相比得： 8分 9分边长 10分 （） 11分= 12分=13分，14分， 15分3中，若，则 4 18（本小题满分14分）已知函数，（1）求函数在内的单调递增区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值；（3）若（），求证：方程在内没有实数解（参考数据：，）18（本小题满分14分）解：（1）， 令（） 则，-2分 由于，则在内的单调递增区间为和；-4分 （注：将单调递增区间写成的形式扣1分）（2）依题意，（），-6分由周期性，；-8分（3）函数（）为单调增函数，且当时，此时有；-10分当时，由于，而， 则有，即，即，-12分而函数的最大值为，且（）为单调增函数，则当时，恒有，综上，在恒有，即方程在内没有实数解-14分3函数的最小正周期T= 答案：9在ABC中，若，则 答案：16（本小题满分12分）已知向量，记（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；（2）若，且，求答案：（1）， 2分4分定义域为 6分（2）因，即0，故为锐角，于是 9分= 12分讲评建议：第（1）问中，必须注意中x的条件限制第（2）中，学生常会将“”展开，并结合，求解方程组，求的值但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练9在中, ,若,则= . ； 1函数的最小正周期为 2已知，求6.在中，如果=568，那么此三角形最大角的余弦值是 15.（本小题满分14分）已知向量,设. ()求函数的最小正周期. ()若,且,求的值.15.解:()因为 4分 所以函数的最小正周期. 6分()因为,所以, 8分又因为,所以, 10分即 =. 14分高考试题中常见的三角函数问题及对策一、高考调研1 理解任意角的概念、弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算; 2掌握任意角的正弦、余弦正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式;3 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;4能正确运用上述三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值三角函数恒等式的证明；5理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义;用三角变换和图象变换方法解决问题; 6会由已知三角函数值求角，会用记号反正弦、反余弦、反余切表示角；7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。二、常见题型及对策利用方程思想和目标意识进行三角变换例1、已知（）求sinxcosx的值；（）求的值. 分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力 ，目标意识，方程组观念平方切入，（）用同角的关系沟通有方法1，由 即 注意角所在范围选取符号又 故 认识同角关系的作用，构建方程组有解法2：联立方程 由得将其代入，整理得 （）目标意识沟通代入有,，例2、已知为第二象限的角，为第一象限的角，解：目标意识,用同角及倍角和角公式的应用, 已知为第二象限的角，例3、已知解：和角公式及二倍角公式的特征,由目标意识构建同角正弦和余弦的方程组切入,二倍角余弦公式的分解因式使问题简单化例4、已知函数 分析：函数值的意义,降次辅助角切入,由和角值如何求单角的值,平方关系启示展开构建方程组解.解：规律总结：三角函数的化简与求值,以角的差异切入,目标意识和整体思维选择变换公式,通过变角,变名称,变结构达到 “特殊值,约项,消项的目的.其中方程组的观念,整体认识和使用公式起着关键的作用.应注重诱导公式(余角改变名称,补角三角形中降元),同角关系(沟通关系构建方程组,分式类齐次式的处理)、升降幂公式及变形公式的灵活应用.、三角变换化归同一个角的三角函数的图象和性质的问题例5、已知函数.（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 分析：注意特殊值用特殊角的三角函数值表示，逆用辅助角公式化归同一角的三角函数切入，解：（1）， . （2）利用有界性求值域， ， ， ， 函数的值域为. 例6、化简，并求函数的值域和最小正周期。分析：诱导公式化简，辅助角公式化归。解： ，则函数的值域为4,4，函数的周期例7、函数 （ ）（A） 在0，（，上递增，在，（，上递减。（B） 在0，上递增，在（，（，上递减。（C） 在（，（，上递增，在0，上递减。（D）在，（，上递增，在0，（，上递减。分析： 认识整体公式意义，升次公式应用化简,注意两种情形选择支验证,选A;规律总结：依据题设特征选择诱导公式，升降幂公式，辅助角公式等化归为同一个角的三角函数，利用公式和有解性简化求解问题。、三角变换和三角函数的图象和性质的信息迁移问题 例8、函数，0，的图像与直线 有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 分析：运动变化和数形结合解决图象的交点的个数,从分段的图象入手，平行直线系 ,作图形助数有 为所求;例9、 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN*），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3x）1在，上的面积为 .BPCDA0分析：理解信息迁移的意义，注意图象的对称性的意义，分割法求面积。（1） 认识对称性和信息反馈两部分关于具有对称性,而 在0，上的面积为,所以面积为; (2) 如图,所球面积分割为规律总结：利用三角函数图象性质可数形结合研究根的个数问题，注意图象的对称性，可分割法解决图象与其直线所围成的非规则图形的面积，应积累这种学习体验。、三角形中的三角问题例10、 已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小. 解：注意三角形中补角的降元意识，从某一个条件入手构建方程有解法一， 由得展开化因式积，则即因为所以，从而由知 从而.即由此得所以注意三角形中补角的降元意识，从另一个条件等式入手构建方程有解法二：由由、，所以即由得 所以即因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得 所以例11、在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力引入中位线产生解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，构建向量产生解法2：以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.引边的高产生解法3：过A作AHBC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PNBC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=例12、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值.分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.解：注意余弦定理的整体结构特征“边化角”有解法一：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知条件，应用正弦定理解得从而注意余弦定理的整体结构特征“角化边”解法二：由余弦定理