南宁四中曾英格2014南宁市优秀教研成果评比活动的参评教学案例.doc

课题：3.1.1方程的根与函数的零点 南宁市第四中学 曾英格【教学目标】知识目标：（1）理解函数零点的定义，以及方程的根与函数的零点之间的联系。（2）掌握“函数零点存在” 的判断方法，并能对新知识加以应用。能力目标：（1）渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。（2）领会数形结合、特殊到一般、化归、函数与方程等数学思想.情感、态度与价值观: （1） 认识函数零点的价值所在。 （2） 培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。 （3） 让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。【教学重点】 理解函数的零点与方程的根关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】 函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】启发式教学、探究式学习【教学过程】一、设置问题情境，探究一次函数图像与相应方程的关系.广西资源县某天凌晨零点的温度是2，中午十二点的温度是10 在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：（1）是否存在某时刻的温度为0？（2）若温度与时间的关系式是y=x-2,能求出具体的时刻吗？解：根据函数解析式，解对应方程x-2=0得出答案x=2.（又函数y=x-2图像与x轴交点横坐标为2，故可以发现，一次方程x-2=0的根和对应一次函数y=x-2图像与x轴交点横坐标相等。）二、类比学习，探究二次函数图像与相应方程的关系.（一）完成表格，并观察下列具体的一元二次方程和对应二次函数图像： （二）完成表格，并观察一般的一元二次方程与对相函数的关系.观察得出结论：一元二次方程有几个根，相应二次函数的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标三、从特殊到一般，引出零点定义后确认等价关系.（板书）1函数零点概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点（说明：函数零点不是一个点，而是一个实数，是具体的自变量的值）（板书）2方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为对应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为对应方程问题这正是函数与方程思想的基础练习1：函数y=f( x)的图象如下，则其零点为 -2，1，3 .四、归纳概括定理，深入理解定理实质.引例变式：广西资源县某天凌晨零点的温度是2，十二点的温度是10 在这段时间内，假设温度不均匀变化，问：（1）是否存在某时刻的温度为0？（2）能计算出具体的时刻吗？如果不能计算出温度为0的时刻，那么能找到0出现的时间范围吗?（说明：从函数的角度看，计算出温度为0的时刻，即求函数的零点.）学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么温度为0的时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 样例类型一 样例类型二（设计意图：通过动手绘画不均匀变化的曲线，预先体会零点存在性定理中“如果，那么，函数在区间内有零点”这一结论）（板书）3.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根. 问题1： 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？ 问题2：若，函数在区间在上有没有零点？问题3：若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？问题4：在满足定理的条件下，能否增加条件,使函数在区间在上只有一个零点？问题5：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间a,b上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？(设计意图：函数零点存在的判定，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断结论的逆命题不成立，通过五个问题加深学生对零点存在性定理的理解)五、把握定理实质，解决零点问题.（设计意图：巩固定理）1、在下列哪个区间内,函数一定有零点（ ）A、(1,0）B、(0,1） C、(1,2）D、(2,3）2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x ,f(x)对应值表：x1234567f(x)239-711-5-12-26那么该函数在区间1，6上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定(备用例题)例1：求函数的零点的个数？解：作出x、f(x) 对应值表.x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知：。这说明f(x)在（2，3）内有零点。通过函数图像知道f(x)在内是增函数，故它仅有一个零点.开拓思维：还有其他方法判断函数的单调性吗？六、总结归纳，提炼数学思想方法.1.数学知识：函数零点的概念；函数零点与方程根的关系；判定某区间上是否存在零点.2.数学思想方法：数形结合的思想;函数与方程的思想;由特殊到一般的化归思想；把复杂问题转化为简单问题的思想.七、作业第92页A组第2题.八、板书设计3.1.1方程的根与函数的零点1、函数零点的定义：2、方程的根与函数零点之间的等价关系：3、零点存在性定理：九、课后反思本节内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修1第三章函数的应用的第一节“函数与方程”的第一课时-方程的根与函数的零点。下面，我从教材目标分析、教学过程设计分析及预期效果分析三个方面对本节课进行说明和反思。一、教材目标分析本节的知识目标有两个，一是让学生理解函数零点的定义，以及方程的根与函数的零点之间的联系。二是掌握“函数零点存在” 的判断方法，并能对新知识加以应用。同时向学生渗透由特殊到一般的认识规律，让学生领会数形结合、特殊到一般、函数与方程等数学思想。本节的重点是理解函数的零点与方程的根关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。难点是函数零点存在性定理的理解及初步应用。二、教学过程设计分析（一）引例环节数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，结合本教材的特点，开题引入一个生活实例，它就是本节所研究问题的雏形和全貌，包括了知识、技能、研究方法，体现了数学与生活的统一，方程与函数的必然统一。通过温度随时间变化的函数图像，发现直线一定与x轴相交，再由函数解析式得出一次函数图像与x轴交点和相应方程的关系。体现了方程和函数的联系，蕴含了数形结合的思想。（二）探究零点定义环节要研究方程与函数的本质不能局限于一次函数、二次函数的特例，所以继续推广了到二次函数的一般性。比较遗憾的是我的设计中没有能更深层次的推广到一般函数与相应方程之间的关系。通过二次函数一般情况推出了零点的定义也还算是比较水到渠成的。在提问“函数的零点是不是点”时，绝大部分学生的回答都是正确的，说明大部分学生在经历定义的形成过程后对定义的认识和理解是正确的。（三）探究零点存在性定理环节第二阶段，将实例变化“在这个时段，温度不均匀变化”，问：是否仍存在某刻时刻温度为0。经过前面零点定义的给出，函数零点与方程根的关系理解，学生能够抽象实例中出找0出现的时刻问题，即数学中找函数零点的问题。因函数解析式未知，无法计算零点精确值，进而引导学生描述零点存在的大致区间，为接下来推出零点存在性定理做准备。学生对零点存在的探究过程是本节课的难点。本课设计的实例是一个非常好的探究模型，学生通过例题能领会0的存在（即函数零点存在）的条件是温度从零下连续变到零上，或者从零上连续变到零下。也就意味着函数值从负值连续变化到正值，或者从负值连续变化到正值。但学生基本不能用较准确的数学语言来表述这些条件，例如学生会将这个变化过程描述成“函数从小变到小，或者从小变到大。”那么教师准确而有效的的问题串，是化解这一难点的关键。然而环节正是自己做得最不完美的一个环节，虽然课前已经设计周密了问题串，临场发挥时刻依旧有些凌乱，语言也不够精准。(四)零点存在性定理透析环节函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断。结论的逆命题不成立。通过五个问题使学生准确理解零点存在性定理(五)练习环节基于课本上给出的两个练习不是特别适用，第一题学生已经在初中学过用判别式判别根的个数，简单快捷，多以他们是不太情愿再用画图找答案的方法来解决问题的。第二题则需要学习例题1以后方能练习。介于课本上这两题练习的局限性，另外给出两题有关针零点存在性定理的应用的题目。练习的目：一是巩固这届课学习的重点和难点，二是为接下来学习例题1做准备。三、预