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微分方程概论1 微分方程的一般理论1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程 （1）其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件一阶的微分方程组 (2)方程组（2）又称为一阶正规方程组如果引入向量则方程组（2）可以写为简单的形式 （3）即与方程（1）的形式相同，当 时为方程（1）对于任一高阶(n阶)的微分方程如果记,则方程为，即可化为一阶方程组的形式因此，下面主要对正规方程组（3）进行讨论1.2 微分方程解的存在唯一性 正规方程组（3）的解存在且唯一的定理。定理1（Cauchy-Peano） 如果函数在上连续，则方程组（3）在上存在解满足初值条件，此处，定理2 如果函数在上连续，且满足李普希兹(Lipschitz)条件（即存在正常数L使得，其中）,则方程组（3）满足初值条件的解是唯一的1.3 微分方程的稳定性问题实际中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题这里仍以方程组（3）为例讨论1.有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内连续，且对满足李普希兹条件，是方程组（3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（3）在上满足初值条件的解有即对任意给定的，总存在相应的,当时，对一切有则称方程组（3）的解在有限区间上是稳定的2.无限区间的稳定性如果是方程组(3)的一个特解，()是方程组（3）满足初值条件的解对任意给定的，总存在相应的,当时，对一切有则称方程组（3）的解在无限区间上是稳定的，即无限区间上的稳定3.渐近稳定性如果方程组（3）解在无限区间上是稳定的，且存在，当时，有则称是渐近稳定的,或称局部渐近稳定性如果上述（或给定的一个有限常数），则相应的渐近稳定性称为全局渐近稳定性（或大范围渐近稳定性）4.经常扰动下的稳定性对于方程组（3），考虑相应的方程组 （4）这里的称为扰动函数如果对任意给定的,总存在和，使得当时有则方程组（4）有满足初值条件的解()且当时有就说方程组（3）的特解在经常扰动下是稳定的5.研究稳定性的方法实际中，要研究方程组（3）的解的稳定性问题，可以转化为研究方程的零解（平凡解）的稳定性问题事实上：对于方程组（3）的任一特解，只要令，则显然有故方程组（3）变为 （5）于是可知方程组（3）的解对应于方程组（5）为（平凡解）因此，要研究方程组（3）的的稳定性问题可转化为研究方程组（5）的平凡解的稳定性问题 如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而，实际中这种情况太少了因此，一般性的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究2 微分方程的平衡点及稳定性2.1 微分方程的平衡点设有微分方程组（3），对于，在某个区域内连续，且满足解的存在唯一性条件如果存在某个常数，使得，则称点为方程组（3）的平衡点（或奇点），且称为方程组的平凡解（或奇解）如果对所有可能初值条件，方程组（3）的解都满足则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法3间接方法：首先求出方程的解，然后利用定义来判断直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性2.2一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程，其相应的平衡点为代数方程的实根其稳定性可以用间接方法判断，下面说明直接方法首先,将函数在点作一阶泰勒(Taylor)展开，即方程可以近似地表示为显然，也是该方程的一个平衡点，其稳定性主要取决于符号，即有下面结论：若，则平衡点是稳定的；若，则平衡点是不稳定的2.3 平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为 （6）则称代数方程组的实根为平面方程组(6)的平衡点，记为如果对所有可能的初值条件方程的解为满足则称平衡点是稳定的；否则是不稳定的也可以用直接方法讨论将方程组（6）的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组 （7）记系数矩阵为，且假设其行列式，则方程组（7）的特征方程为 ,