高二数学归纳法(理科).doc

年 级高二学科数学内容标题数学归纳法（理科）编稿老师李彬一、学习目标数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，掌握数学归纳法的基本解题步骤，能利用此方法解决有关问题.二、考点分析1. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.注：（1），（2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题.2. 运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错.（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.（3）关键步骤含糊不清，“假设nk时结论成立，利用此假设证明nk1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.【典型例题】例1. 数列的通项公式，设，试求的值，推导出的公式，并证明.证明： ,，,猜想：，证明如下：（1）当时，公式成立.（2）假设时成立，即,那么,由（1）（2）可知，对任何都成立.例2. 用数学归纳法证明：时，.解析：当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立.假设时等式成立，即有，则当时，所以当时，等式也成立.由，可知，对一切等式都成立.点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.（2）在本例证明过程中，考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，这一过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证.（3）在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系.例3. 用数学归纳法证明：能被9整除.解析：方法一：令，（1）能被9整除.（2）假设能被9整除，则能被9整除.由（1）（2）知，对一切，命题均成立.方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，则时，时也能被9整除.由（1），（2）可知，对任何，能被9整除.点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.例4. 对一切大于1的自然数，证明：.证明：（1）当时，（2）假设时命题成立，即，那么当时， ，只需证明，只要证明，此式显然成立.故当时，不等式仍然成立.由（1）（2）知，对一切（）不等式均成立.例5. 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分割成个区域. 证明：（1）当 时，一条直线把平面分成两个区域，又，所以时命题成立.（2）假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了 个区域，那么当时，条直线中的条把平面分成了个区域.第条直线被这条直线分成部分，每部分把它们所在的区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了个区域，所以时命题也成立，根据（1）、（2）知，对一切的，此命题均成立.【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是（ ）A. B. C. D. 2. 用数学归纳法证明“”，在验证时，左端计算所得的项为（ ）A. B. C. D. 3. 用数学归纳法证明：（，且）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ）A. B. C. D. 4. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（ ）A. 假设时正确，再推时正确B. 假设时正确，再推时正确C. 假设时正确，再推时正确D. 假设时正确，再推时正确5. 空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（ ）A. B. C. D. 6. 用数学归纳法证明：“（，且）”时，由（）不等式成立推证时不等式成立时，左边应增加的项数是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7. 在数列中，且，2成等差数列（表示数列的前n项和），则，分别为_；由此猜想_.8. 已知对一切都成立，那么a=_，b=_，c=_.9. 记凸k边形的内角和为，则凸边形的内角和_.10. 用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是_.三、解答题（本大题共4题，共50分）11. 用数学归纳法证明：.12. 平面内有个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，求证：它们把平面分成个部分.13. 14. 由下列各式：，你能得出怎样的结论？并进行证明. 【试题答案】一、选择题1. C 2. C 3. C 4. B 5. A 6. C二、填空题7. ，8. ，9. 10. 三、解答题11. 证明：（1）当时，有左边，右边，左边=右边，所以等式成立.（2）假设当时等式成立，即，当时，有.所以时等式也成立.由（1）、（2）知，等式对一切都成立.12. 证明：（1）当时，1个圆把平面分成个部分， 当时，命题成立.（2）假设时，个圆将平面分成个部分，则当时，新增加的一个圆与前个圆有个交点，这些点把新圆周分成段，每段把它穿过的区域又分成两部分，因此增加了个部分，于是个圆将平面分成个部分，即时，命题成立.由（1）、（2）知命题对任何正整数均成立.13. 证明：由于是与正整数有关的等式，因此可以用数学归纳法证明.（1）当时，左边=1，右边，左边=右边，所以等式成立.（2）假设当（）时等式成立.即当时， 即当时，等式成立，根据（1）和（2