4.2.3直线与圆的方程的应用教案.doc

4、2、3直线与圆的方程的应用（一）【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面几何.【教学过程】一、复习准备：(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二、讲授新课：提出问题、自主探究例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米） 方法一：在中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径R，而在中，从而可求得长度。能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。首先应建立坐标系。如何建系？四种不同的建系方案：分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题-分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模-将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模-求解数学问题，得出数学结论；(4) 还原-根据实际意义检验结论，还原为实际问题流程图：实际问题 数学问题 数学结论实际问题结论（审题） （建模） （解模） （还原）变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明 “平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再 看下例：例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。(1).思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，3=4 在RtADF和RtAHB中1=2 5=1+ 7， 6=2+ 7 5= 6 又ACF=900 且 CHD=900 CFBD 由 可得四边形CFDB为等腰梯形|CB|=|FD| 又|FD|=2|PE| |BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，.用勾股定理， ，其中为中点； 先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的坐标。变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？还能有什么其他发现？（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。课堂小结：（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；（2）解决实际问题的具体步骤-审题、建模、解模、还原；（3）解决几何问题的新方法-解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；【板书设计】一、指数函数1定义2. 图像3. 性质二、例题例1变式1例2变式2 【作业布置】习题4.2B组的2、3、4题4、2、3直线与圆的方程的应用（二）【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学重难点】教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法【教学过程】1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程. 结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为.配方得到标准式方程如下所示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去，得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，又半径（弦长公式），所以所求的圆的方程是:.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则，消去y，得到如下方程所以我们可以得到下面结果，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为.因为M、N都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到.所以2x+ (y-2)/(x-1)2y=0，所以P点的轨迹方程为（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.变式练习：已知直线，是