中南大学研究生入学考试试题高等代数.doc

中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下表示维实列向量空间，表示阶实矩阵的全体，表示矩阵的转置，表示矩阵的迹。一、（20分）设是维欧氏空间中非零向量，定义变换1 验证是线性变换；2 设在的标准正交基下的坐标为，求在该基下的矩阵；3 证明为对称变换，即，；4 证明：为正交变换的充要条件是。二、（16分）设，记1 证明：是的子空间；2 当时，求；3 当时，求的维数和一组基。三、（16分）设为维非零列向量，求矩阵的特征值和特征向量，其中表示列向量的共轭转置。四、（14分）设，证明线性方程组必有解。五、（12分）设为阶实矩阵，证明六、（12分）求证：为幂零阵（即存在正整数，使得）的充要条件是：对任一自然数，有七、（10分）设是阶实对称矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵，恒有中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、 填空题：（每小题6分，共30分）1、 设四阶方阵，其中为4维列向量，若，则。2、 设六阶方阵的秩等于4，则的伴随矩阵的秩等于。3、 设三阶方阵的行列式，为的逆矩阵，为的伴随矩阵，则。4、 设为阶可逆矩阵，如果交换的第行与第行得到，则。5、 设为阶方阵，若，秩秩，则数必为的特征值。二、 （本题满分20分）设是数域上的一个次多项式，这里，且设的一阶微商可以整除。证明，这里。三、 （本题满分20分）解方程组其中为互不相同的常数。四、 （本题满分25分）设是一个数域是中的一个矩阵，令证明：（1）是的一个线性子空间；（2）可以找到非负整数，使是的一组基；（3）的维数等于的最小多项式的次数。五、 （本题满分25分）设是实数域上的2维向量空间， 是线性变换。（1） 求在基下的矩阵；（2） 证明对于每个实数，线性变化是可逆变换，这里是上的恒等变换；（3） 设在的某一基下的矩阵为证明乘积不等于零。六、 （本题满分20分）设为矩阵。证明：如果，那么秩+秩。七、 （本题满分10分）设，若矩阵是正定的，证明也正定。中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目：高等代数下面的均为阶单位矩阵。一、 填空。（5分5=25分）1、 当_时，向量能由向量，线性表示。2、 假设阶方阵满足，则的特征值为_。3、 已知阶方阵满足，则_。4、 设是阶方阵，满足（是的转置矩阵），则_。5、 设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当满足_时，为正定矩阵。二、 计算阶行列式。（15分）三、 证明方程组有解的充要条件是，在有解的情况下求出它的一切解。（15分）四、 证明，若方程的两个跟和有关系式，则。（15分）五、 （20分）1、 证明：向量是维向量空间的一组基。2、 求向量在此基下的坐标。六、 设，证明当时，有，并求（为3阶单位矩阵）。（20分）七、 设实二次型，证明：的秩等于矩阵的秩。（20分）八、 设、分别为阶正定矩阵和半正定矩阵，证明，且仅当时取等号。（20分）南大学2005年研究生入学考试试题考试科目：高等代数1（10分）设是阶矩阵，满足（是阶单位阵），求：2（分）求证：下列齐次线性方程组的可解性：3(12分)设和是数域上的多项式,为正整数.证明:如果,则.4(15分)设,.求解:(1) 为何值时，线性无关？(2) 选取，将表示成的线性组合。5(15分) 设二次型问取何值时，该二次型为正定型？6（12分）设是非奇异实对称矩阵，是反对称矩阵，且。证明必是非奇异的。7（20分）设矩阵的一个特征值为3，（1）求； （2）求矩阵，使为对角矩阵。8（12分）设与是阶矩阵，证明与有相同的特征值。9（20分）设是数域上的维线性空间的一个线性变换，满足：。证明：（1）的核；（2）等于的核与值域的直和：。10（25分）设是欧氏空间中的单位向量，定义。证明：（1）是正交变换。这样的正交变换称为镜面反射。（2）是第二类的正交变换。（3）如果在维欧氏空间中，正交变换以1作为一个特征值，且属于1的特征子空间是维的，那么是镜面反射。中南大学2006年研究生入学考试试题试题类型：高等代数一、 填空题（每小题5分，共25分）1、若二次型是正定的，则的取值范围为（ ）2、设为五阶矩阵，是的伴随矩阵，若秩秩，则秩（ ）3、设为四阶矩阵，且，为交换的两列得到的矩阵，则的值为（ ）4、设是向量空间，的线性变换，则在基下的矩阵为（ ）5、设线性无关，且可以由向量组线性表出，而可以由向量组线性表出，则的取值范围为（ ）二、 （本题满分15分）求证：整除，这里是正整数.三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，则证明与有相同的特征多项式.四、 （本题满分15分）计算级行列式五、 （本题满分20分）设为线性变换的特征向量，这里为恒等变换，且向量组满足证明：向量线性无关.六、 （本题满分20分）设是欧氏空间的一标准正交向量组，证明：有七、 （本题满分20分）设是维向量空间的线性变换，且证明这里表示零变换，表示象空间的维数.八、 （本题满分20分）设为实矩阵，秩，证明：（1）（15分）是正定矩阵；（2）（5分）方程组只有零解，这里.中南大学2007年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、 填空题（每小题5分，共25分）1设（ ）2设，则秩（ ）3设是实数域，试写出中的正交补（ ）4设是向量空间上的线性变换，向量，则在基下的坐标为（ ）5取何值时，是正定二次型？（ ）二、 （本题满分15分）设为正整数，证明整除的充要条件是整除三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，且证明： 秩秩四、 （本题满分15分）设表示数域上向量空间，是按如下方法定义的线性变换：这里，求线性变换的核和像以及五、 （本题满分20分）设是非零实方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵，1（10分）证明；2（10分）若是的特征值，则六、 （本题满分20分）求下列矩阵的特征值和特征向量：七、 （本题满分20分）设是正定矩阵，是半正定矩阵，证明：1（10分）的所有根；2（10分）八、 （本题满分20分）设和都是数域上向量空间，和分别是和的线性变换组成的向量空间，是到的同构映射。1（5分） 证明：，有；2（15分）证明：，这里表示同构。2008年一、 填空题（5分，共25分）1、 设=(2,4,2) ,=(,), =(3,5,4), =(1,4, ),可以由,线性表出，则=秩（,）的取值范围是2、 是的子空间，则的正交补的维数是3、 设是向量空间上的线性变换，： ，则线性变换的核（零度）和像（值域）分别为4、 取何值时，实矩阵与合同？5、设是阶可逆矩阵，是伴随矩阵，则与的关系是二、（15分）设是实数，证明：有重根的充要条件是三、（15分）设是一个次数大于零的多项式，且，是阶矩阵且，证明：是可逆矩阵四、（15分）证明：任一阶可逆实矩阵均可分解为一正交矩阵和一实上三角矩阵的乘积，即五、（20分）设1、证明：存在，使得对任一阶实对称