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第三讲重积分的计算法及其应用 1 重积分计算的基本方法 一 方法指导 累次积分法 逐次积分 混合积分 先一后二 穿针法 先二后一 切片法 二次积分 三次积分 包括5 1 5 2 5 5部分 1 具体注意以下几点 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 域边界应尽量多为坐标轴或面 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 由内到外 面 线 点 2 2 重积分计算的主要技巧 1 消去绝对值符号 分区域积分 利用对称性 2 利用对称性简化计算 选取坐标系时要考虑对称性 被积函数和积分域的对称性要匹配 添加辅助线或面 化区域为对称 利用形心公式简化计算 3 重积分的换元积分法 3 二重积分的换元公式 且 则 最常用的换元公式 极坐标变换 广义极坐标变换 4 三重积分的换元公式 P309 若 且 则 其中 5 柱坐标变换 最常用的换元公式 球坐标变换 广义球坐标变换 6 3 重积分的应用 1 解决的问题 分布在平面域或空间域上具有可加性 2 解决的方法 微元分析法 求微分表达式 求积分表达式 3 主要应用问题 几何方面 面积 体积 形心 物理方面 质量 转动惯量 质心 引力 二 实例分析 二重积分部分 的整体量 7 附 将 化成极坐标下的二次积分 8 附 将 化成极坐标下的二次积分 9 3 附 将 化成极坐标下的二次积分 10 例1 计算 其中 P281例3 解 11 例2 计算二次积分 解 作积分域如图 选用极坐标系 P282例5 2 12 例3 计算 解 求曲线的交点 13 例4计算 2 D由直线y x y 1及x 1围成 P286例7 解 1 利用对称性 有 2 利用对称性 有 添加辅助线 分 为 14 例5 计算二重积分 解 其中 利用对称性 分区域D为 如图 则 用形心公式 15 例6 计算 其中 解法一 16 例6 计算 其中 解法2 令 17 练习 P467例4 18 练习 区域D由曲线 围成 故选择 A B C D 2012考研 解 19 例7设D由xoy平面上以点 为顶点的三角形区域 D1是D的第一象限部分 则 P486例2 20 例8 解 计算 10年考研 21 例9 设 为连续函数 则 考研2001 22 例10设 表示不超过 的最大整数 计算 解法1 记 则有 于是 考研2008 23 例10 设 考研2008 表示不超过 的最大整数 计算 解法2 24 例11 解 因为 已知函数 具有二阶连续偏导数 且 其中 计算 所以 从而 2011考研 25 例12计算 其中区域D为曲线 与极轴围成 2012考研 解 26 练习 计算 其中D由曲线 与 及y轴所围成 2012考研 解 27 例13设 连续 则二次积分 解作图 得y的下界为 得y的上界为 故排除 将极坐标下的二重积分化为直角坐标系下的 故选择 得被积函数为 A B C D 2012考研 D 二重积分 28 例14求 其中 P294例14 解 令 则域D的原像为 29 例15求 其中D由曲线 与x y轴所围区域 解 令 则积分区域D的原像为 30 例16求 其中D为直线x y 2 与坐标轴所围区域 P292例12 解 令 则积分区域D的原像为 31 例17 证明 P288例10 2 证 由左边积分式作积分域如图 交换积分顺序 得 左边 右边 32 例18 设 证法1 利用变限积分 则 令 左边 右边 证明 33 例18 设 证明 证法2 左端 同时改变积分变量的字母 左端 右端 考研95 34 例18 设 证明 证法3 利用轮换对称性 即 故左边 右边 35 设 且 求 证 例19 因为 连续 故设 所以 36 练习 设 求证 证 令 则 原式 又 所以 原式 37 例20 证明 其中 解 又D的面积为1 故有 技巧 利用题中x y位置的对称性 38 例21 设 说明 1 其它证法参考L P291方法2 方法3 提示 利用 在 a b 上连续 证明柯西不等式 L P290例11 它关于t的二次三项式判别式 即 39 2 特别当 时 有 例21 设 在 a b 上连续 证明柯西不等式 40 例22计算 因为 所以 10年考研 41 例1 计算 其中 由锥面 与平面z 1所围成 P300例1 解 用 先二后一 计算 设 说明 此题也可用 三次积分 或 先一后二 计算 三重积分部分 42 例2 计算 解 在球坐标系下 与平面z 1所围成 其中 由 锥面 即 43 例3 设 是二球域 及 的公共部分 计算 P368题5 3 提示 由于被积函数缺x y 利用 先二后一 计算方便 44 例3 计算积分 其中 是两个球 R 0 的公共部分 解 原式 45 例4 计算 其中 解 利用对称性和积分域的特点 用 先二后一 方法 P303例5 46 例5 计算 其中 围成 P304例6 解 利用对称性 47 例6 计算 其中 围成 P305例7 解 作辅助曲面 将 分成上下两部分 则 由 与 48 例7 设 求 提示 利用球坐标 49 例8 计算 P310例12 解 利用球坐标系 积分域为 50 例9 计算 P309例11 解 积分域为平面x y z 1与三个坐标面所围四 交换积分顺序 得 面体 51 例10 计算 所围成 其中 由 解 思考 若被积函数为f y 时 如何计算简便 52 例11 设 存在 求 其中 P307例8 1 解 在球坐标系下 利用洛必达法则 得 说明 陕西90年竞赛题为求 53 例1 求由曲面 柱面 以及平面 解 该立体向xoy面作投影 投影区域D 所围的立体的体积 重积分应用部分 54 例2 求曲面 和 所围闭区域 的体积 解 方法1 或 方法2 55 例3 已知两个球的半径分别为a和b 的球心在大球的球面上 建立直角坐标系 故有 于是 且小球的 解 以两球心所在直线为z轴 以大球球心为原点 试求小球在大球内的那一部 分的体积 56 例4 求曲线 所围图形的面积 P355例1 解 在极坐标系下 曲线为 利用对称性有 57 例5 求由曲面 和 所围成的体积V和表面积S 解 易求出 利用二重积分 得 58 例6 已知 则 提示 其形心为 其体积为 59 例7计算 10年考研 设 则 的形心坐标 解 60 例8 设面密度为1的均匀薄片由曲线 与直线 围成 分别求其关于原点及直线的转动惯量 P360例5 解 思考 如何求该薄片关于直线 的转动惯量 61 例9 在均匀半球下方接一个半径相同的均匀圆柱体 使其形心在球心处 求圆柱半径与其高之比 解 如图所示 设半球体密度为 柱体的体密度为 利用 得 即 62 t为时间 的雪堆在融化 过程中 设长度单位为厘米 时间单位为小时 设有一高度为 其侧面满足方程 已知体积减少的速率与侧面积成正 比 比例系数0