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复习 五大部分内容 一 函数与极限二 导数与微分三 微分中值定理与导数的应用四 不定积分五 定积分及其应用 1 注1 试卷内容覆盖教材中第一章至第六章 主要测试学生对一元函数的微积分 微分方程的基本思想 基本理论及计算技巧的掌握情况 注2 课本中带有星号 的内容不考 另外不考的内容有 第二章第四节中的相关变化率 第二章第五节中的微分在近似计算中的应用 第三章第七节曲率以及第八节方程的近似解 第六章第三节定积分在物理学上的应用 2 一 函数与极限 基本要求1 掌握极限四则运算法则 掌握用两个重要极限公式求极限的方法 了解无穷小量及其性质 会进行无穷小量阶的比较和等价无穷小替换 2 理解函数在一点连续与间断的概念 掌握判断简单函数 含分段函数 在一点的连续性 理解和掌握闭区间上连续函数的性质 最值定理 零点定理 介值定理 及其应用 3 i 函数极限存在的充要条件 注 在讨论某一函数在点x0处的极限 而该函数在点x0处左右两边的表达式不同时 一般都要用这个结论 ii 极限的性质函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性 函数极限与数列极限的关系iii 极限存在的准则1 夹值同限原理 夹逼准则 2 单调有界原理 1 函数极限 4 定义 若 则称 是比 高阶的无穷小 若 若 若 若 或 记作 则称 是比 低阶的无穷小 则称 是 的同阶无穷小 则称 是关于 的k阶无穷小 则称 是 的等价无穷小 记作 2 无穷小及无穷小的比较 5 3 函数的连续性与间断点 f x 在点x0连续 间断点 设f x 在点x0的某个去心领域内有定义 若函数f x 有下列情形之一 1 在x x0没有定义 2 虽在x x0有定义 但不存在 3 虽在x x0有定义 且存在 但则函数f x 在点x0不连续 而点x0称为函数f x 的不连续点或间断点 6 4 闭区间上连续函数的性质1 有界性与最大值 最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 且一定能取得它的最大值与最小值 2 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 即f a f b 0 则在开区间 a b 内至少有一点 使得 3 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且在这区间的端点取不同的函数值f a A及f b B 则对于A与B之间的任意一个数C 在开区间 a b 内至少有一点 使得推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 7 5 极限的计算方法1 利用函数的连续性2 利用极限的四则运算法则3 利用 无穷小与有界函数的积仍是无穷小法则 若 函数在点x0的某去心邻域内有界 则4 利用 等价无穷小替换定理 设存在 则5 利用 夹逼准则 6 利用 单调有界数列必有极限准则 7 利用两个重要极限 8 常用等价无穷小 9 例1 1 2 B B 10 例2求下列极限 11 极限运算法则P451 5 7 9 12 14 2 1 3 3 1 4 5极限存在准则及两个重要极限P521 4 5 6 2 2 3 4 4 2 3 无穷小的比较P553 5 2 3 4 函数的连续性与间断点P614 5连续函数的运算与初等函数的连续性P663 5 6 7 4 4 5 6 6闭区间上连续函数的性质P702 3 5习题课P711 2 3 4 9 2 3 6 10 11 12 13 12 二 导数与微分基本要求 1 理解导数的概念并能熟练利用导数的定义求解一些特殊形式函数的极限 2 了解导数的几何意义与物理意义 了解函数的可导性与连续性之间的关系 3 掌握求导数的基本公式及四则运算法则 复合函数的求导方法 隐函数及由参数方程所确定的函数的各阶导数的方法 4 会求函数的微分 13 一 导数的定义1 函数在一点处的导数 2 导数概念是函数变化率的精确描述 3 若极限不存在 则称函数在处不可导 14 5 导数的几何意义 导数在几何上表示 曲线在点处的切线的斜率 即 其中是切线的倾角 6 可导与连续的关系 定理如果函数在点处可导 则函数在该点必连续 15 二 反函数的导数等于直接函数导数的倒数三 复合函数的求导法则 四 求隐函数导数的方法1 直接求导法2 对数求导法 常用求由多个因子的积 商 幂或根式组成的函数或幂指函数的导数 幂指函数 3 用反函数的求导法则求之 16 六 由参数方程所确定的函数的导数1 由参数方程所确定的函数的导数的求法定理设函数由参数方程确定 若有反函数 与均可导且 则即2 若 还是二阶可导的 则 17 例1设 存在 求 例3已知 则 18 例5 1 2 C 2 3 4 5 19 例6 设 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 再求导 得 当 时 故由 得 再代入 得 求 P12311 20 例7 设 求 提示 分别用对数微分法求 答案 21 导数概念P836 7 8 11 16 2 18 19函数的求导法则P942 2 8 10 3 2 3 6 6 8 7 3 7 10 8 4 5 8 10 10 11 3 8 10 14隐函数和参数方程求导P1081 1 4 2 3 3 4 4 2 4 5 2 6 7 2 8 2 4 函数的微分P1201 3 4 7 8 9 10 4 习题课P1221 2 3 6 7 8 3 4 5 9 2 11 12 2 13 22 三 微分中值定理与导数的应用 基本要求 1 掌握几个微分中值定理的条件和结论及其应用 2 会用洛必达法则求常见不定式的极限 3 会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增 减区间 进而用来证明一些不等式问题 掌握求函数极值和最值的方法 4 会判定曲线的凹凸性 并求出凹凸区间 会求曲线的拐点 23 一 微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 二 洛必达法则 三 泰勒公式 四 函数的单调性 曲线的凹凸性 拐点函数的极值 最大值 最小值 五 函数图形的描绘 24 1 罗尔定理若函数满足 1 在闭区间 a b 连续 2 在开区间 a b 可导 3 在区间端点处的函数值相等 即则在 a b 内至少有一点使得 25 2 拉格朗日中值定理若函数满足 1 在闭区间 a b 连续 2 在开区间 a b 可导 则在 a b 内至少有一点使得 26 3 柯西中值定理若函数及满足 1 在闭区间 a b 连续 2 在开区间 a b 可导 3 对任一则在 a b 内至少有一点使得 27 定理1设 1 当时 函数及都趋于零 2 在点的某去心邻域内 及都存在且 3 存在 或为无穷大 则 的未定式的情形 二 洛必达法则 未定式 28 三 函数的单调性与曲线的凹凸性1 函数单调性的判定法定理设函数在 a b 连续 在 a b 可导1 若在 a b 内则函数在 a b 上单调增加 2 若在 a b 内则函数在 a b 上单调减少 29 定理2设在上连续 在内具有一阶和二阶导数 则1 若在内 则在上的图形是凹的 1 若在内 则在上的图形是凸的 2 曲线的凹凸性与拐点 30 定理2 第一充分条件 设函数在处连续 且在的某去心邻域内可导 1 若时 而时 则在处取得极大值 2 若时 而时 则在处取得极小值 3 若时 的符号保持不变 则在处没有极值 31 定理3 第二充分条件 设函数在处具有二阶导数 且则1 当时 函数在处取得极大值 2 当时 函数在处取得极小值 注1 若在驻点处的二阶导数 则该驻点一定是极值点 2 若函数在驻点处的二阶导数为0 则还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定 32 函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤如下 1 确定函数的定义域 讨论函数的一些基本性质 如奇偶性 对称性和周期性等 2 求出使和 及不存在的点 3 确定函数的上升或下降区间 图形的凹凸区间以及极值 4 定渐近线 5 描点作图 33 例1 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 34 对应 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 3 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹 向上凸 点 0 1 及 均为拐点 凹 凹 凸 35 例3 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 解 显然 且 故函数在 取最小值0 36 例4设 在 上连续 在 内可导 且 证明存在 使 37 例5 1 B 2 3 38 4 5 39 微分中值定理P1327 8 9 10 11 12 14洛必达法则P1371 6 7 9 12 13 16 4泰勒公式P1433 4 5 6 7函数的单调性与曲线的凹凸性P1513 1 7 5 10 3 6 11 13 14 15函数的极值与最大值最小值P1611 5 9 2 3 6 7 8 9函数图形的描绘P1672 3习题课P1821 2 4 5 6 10 2 3 12 13 20 40 四不定积分 基本要求 1 掌握原函数的概念 理解不定积分的概念和性质 掌握不定积分的基本公式 2 掌握第一类和第二类换元积分法 3 掌握分部积分法以及有理函数的积分 41 一 不定积分的概念与性质Def 1若区间I上 可导函数的导函数为 即对任一 都有则函数就称为在区间I上的原函数 42 例 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 43 二 换元积分法1 第一类换元法 凑 微分法 TH 1设具有原函数 可导 则有换元公式 2 第二类换元法TH 2设是单调的 可导的函数 并且 又设具有原函数 则有换元公式其中是的反函数 44 三 分部积分法 四 有理函数的积分1 有理函数 其中m和n都是非负整数 都是实数 并且 当时 称有理函数 是真分式 当时 称有理函数 是假分式 注 1 被积函数是假分式的 利用除法 把它化为真分式 2 被积函数是真分式的 把被积函数分解为简单分式之和 45 若在实数范围内其中则其分式可分解成如下部分分式之和 其中都是常数 46 47 2 三角函数有理式积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 由于各种三角函数都可以化为sinx及cosx的函数 所以只要讨论的积分 48 法一 恒等变形法 类型I m n为正整数 利用1 sin2x cos2x进行恒等变形 类型II 可设求出A B 法二 凑微分法 49 类型III 万能变换法变量代换总能将形如的积分化为u的有理函数的积分 50 3 简单无理函数的积分这里只讨论被积函数为及这两类函数的积分 1 被积函数含 n为正整数 n 1 的积分常做根幂代换 化为t的有理函数的积分求之 2 被积函数为分式函数 其分母为两个不同次幂的根式的代数和 常做根幂代换 其中P为正整数m n的最小公倍数 化为t的有理函数的积分求之 51 3 被积函数含 n为正整数 n 1 的积分常做根幂代换 化为t的有理函数的积分求之 4 被积函数为分式函数 其分母 或分子 或其分子 分母分别 为两个同次幂的根式之代数和 先将分母 或分子 有理化 化成只含一个根式的两个积分 如需要再用根幂代换求之 52 53 例1已知 求 例2已知 的一个原函数为 求 例3求下列不定积分 54 不定积分的概念与性质P1922 5 12 14 20 23 25 26 5换元积分法P2072 4 5 9 11 12 16 20 21 23 28 29 30 32 33 35 36 38 40 42 44 分部积分法P2124 5 9 14 18 20 21 22 23 24有理函数的积分P2183 6 8 9 13 15 17 18 20 22 23 24习题课P2222 3 4 6 9 18 19 20 22 26 28 31 38 39 55 五定积分及其在几何上的应用 基本要求 1 理解定积分的概念与几何意义 了解函数的可积性与连续性 或者可积性与有界之间的关系 了解定积分的性质 2 掌握积分上限函数及求导方法 掌握牛顿 莱布尼兹公式 掌握用定积分的换元法和分部积分法计算定积分 3 掌握反常积分的计算方法 4 掌握用定积分求平面图形的面积 旋转体的体积以及曲线弧长 56 1 与定积分概念有关的问题的解法 1 用定积分概念与性质求极限 2 用定积分性质估值 3 与变限积分有关的问题 2 有关定积分计算和证明的方法 1 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法 2 注意特殊形式定积分的计算 3 利用各种积分技巧计算定积分 4 有关定积分命题的证明方法 57 例1求极限 例2设 求 例31 反常积分 例4求 2 4 58 例5计算下面定积分 例6 59 例7 60 第五章定积分的概念与性质P2367 10 3 4