6.正多边形和圆及圆中计算问题.doc

正多边形和圆及圆中计算问题 一内容综述 正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图OAD）中解决的。掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中，如果分别以n、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有： n=； an=2Rnsin； rn=Rncos； +； Pn=nan； Sn=Pnrn； Sn=nsin.（因为一个三角形的面积为：hOB） 注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等； 2、准确记忆相关公式。 在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所对的圆心角的度数，L表示弧长，则有： 圆周长：C=2R。 弧长：L= 圆面积：S=R2 扇形面积：S扇形=LR 弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算 需根据不同的情况作出不同的处理： （1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S （2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S （3）当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆 圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积 二例题分析： 例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（） A、B、C、D、 解：如图1，BF=2，过点A作AGBF于G，则FG=1， 又 FAG=60， 故选B。 说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。 例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6cm,的长为10cm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。 解：设O=，由弧长公式得6=, 10=, OA=, OB=. 又 AB=OB-OA, 12=-, =60, OA=18, OB=30. 阴影部分的面积为：-=96 说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。 例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半. 分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 证明:设外切多边形周长为P,内切圆O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图 OMAB,ONBC, SOAB=OMABRAB, SOBC=ONBCRBC, 正多边形ABCD面积为S=R(AB+BC+)=RP. 说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。 例4.已知如图O1为含120弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。 分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆O1的周长2r，及弓形的弧AB的长，找到r与O的半径R的关系，结论易证。 证明：设O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r， AOB=120， 的长=R， 又 OAB=(180-120)=30， OC=OA=R, r=(OD-OC)=(R-R)=R, 又O1的周长=2r=2R=R, O1的周长等于弧长的. 例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,AOB=120,求阴影部分面积S阴影ABC. 分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-SACO,故可求得. 解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-SACO, 而S扇形OAB=12(cm2), SACO=63sin60=(cm2), S阴影ABC=(12-)cm2. 说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。 例6.如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积. 分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。 解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切O的内接正三角形的一条边长,过O点作OECD于E,分别连结OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC=a6,BOC=30, CD=a3,CE=a3,OE=r3,COE=60, S6=6SOAB, S6=6a6OC=6, OC=BCcot30, OC=a6, 6a6a6=6, a6=2,OC=, OE=OCcos60, OE=, CE=OCsin60, CE=, CD=2CE=3, S3=3CDOE,S3=33=. 说明:(1)此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形. (2)因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系. 例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+)和16,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积) 解:连结OP， PA、PB分别切O于A、B, OAP=OBP=90, 又PA=PB,AO=BO, RtPAORtPBO, RtPAO的面积=四边形PAOB的面积=8. 又RtPAO的面积=AOPA, OAPA=16. 已知OA+PA=8(1+)=4(1+). OA、PA为方程x2-4(1+)x+16=0的两根， 解得x1=4，x2=4，但AOB是钝角， PAOA, PA=4,OA=4. 在RtPAO中,tanPOA=. POA=60,AOB=120, 扇形OAB的面积=42=. 劣弧AB与两切线所夹部分的面积为16-. 说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP的面积去掉扇形AOB的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形. 例8.如图,AOB=90,ACOB,OA=1,是以O为圆心的弧,是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积. 分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？ 解:连结AB, AOB为等腰直角三角形, AB=, O=90,OA=OB=1, S扇形OAB=R2=, S扇形ABC=()2=, S弓形AmB=S扇形OAB-SAOB=-AOBO=-. S阴影=S扇形ABC-S弓形AmB =-(-) = 说明：（1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓