（试题 试卷 真题）有理数及其运算的技巧

学科: 奥数教学内容：有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。要点讲解：1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。例1 观察图1中的数轴用字母a,b,c依次表示点A，B，C对应的数，试确定 这三个数的大小关系。思路：由B点在A点右边，知b-a0，而A，B都在原点左边，故ab0，又c0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。解：因为C点在1的右边，所以c1，因为A点在-1与之间，B点在与0之间，所以AB的距离大于而小于1，即由同样的理由有，。所以 又ab0,故从而有 0abb-ac。所以例2：设a,b是两个有理数，且ab,求证：.证明1： aa, b-a0.而 证明2 即 又即故 说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数，由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。2、符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例3 计算思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，.，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（-1）的和，即 ；当n为奇数时，上式是个（-1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：例4 计算 解法1 原式解法2 原式说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。3、算对与算巧求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。例5 计算（1）；（2）；（3）解： （1）应用关系式 来进行“拆项”。原式（2） ， 原式=或者用下面的“错位相减法”求和。令 ，则将这两式错位相减得即 再将这两式错位后式减去前式得；（3）考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现： 原式=说明：分析和错位相减是有理数运算中常和的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。 例6 计算（1）；（2），思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1，所以原式=24690。（2）四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示以简化计算。设，则原式=说明：通过以上例题可以看到，用字母表示数或表示一个式子，常常可使计算简化。例7 购买5种物品，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需21995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需21995-2984=1006（元）说明：用方程的观点解此题，思维更清晰，设购买物品i=1，2，3，4，5则 ，由 2- 得.需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。A级1、实数a,b在数轴上的对应点如图2所示，图中0为原点，则的值（ ）。（A）小于零 （B）大于零（C）等于零 （D）不能确定2、有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则（ ）（A）0 （B）1 （C）-1 （D）23、计算_。 4、如图3，a,b,c,d,e,f均为有理数，图中各行、各列、两条对角线上三个数之和都相等，诚求 的值。B级5、甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）。（A）6 （B）9 （C）12 （D）186、定义ab= 是有理数范围内的一种运算，则=_。 7、计算 8、已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设为AB的中点，为的中点，为的中点，求，所对应的各数之和。参考答案或提示A级1、（B）2、（B）