学案5 空间中的垂直关系.ppt

考点1 考点2 考点3 返回目录 考纲解读 考向预测 1 在客观题 解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直 面面垂直关系以及逻辑推理能力 2 近年来开放型问题不断在高考试题中出现 这说明高考对学生的能力要求越来越高 这也符合新课标的理念 因而在复习过程中要善于对问题进行探究 立体几何中结合垂直关系 设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向 返回目录 返回目录 1 直线与平面垂直的定义如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 记作 直线l叫做平面 的垂线 平面 叫做直线l的垂面 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点P叫做垂足 根据定义 过一点直线与已知平面垂直 过一点与已知直线垂直 l 有且只有一条 有且只有一个平面 返回目录 2 判定定理和性质定理 1 判定定理 则该直线与此平面垂直 2 性质定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 返回目录 3 直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面 相交 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点A叫做斜足 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是的角 4 二面角 返回目录 但不和这个平面垂直 射影所成的锐角 直角 0 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内 这两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 5 两个平面垂直的定义一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 记作 6 两个平面垂直的判定与性质 1 判定定理 则这两个平面垂直 返回目录 分别作垂直于棱的两条射线 直二面角 一个平面过另一个平面的垂线 2 性质定理两个平面垂直 则一个平面内与另一个平面垂直 返回目录 垂直于交线的直线 返回目录 返回目录 如图 AB为圆O的直径 C为圆周上异于AB的任一点 PA 面ABC 问 图中共有多少个Rt 分析 找出直角三角形 也就是找出图中的线线垂直 考点1线线垂直 返回目录 解析 PA 面ABC PA AC PA BC PA AB AB为圆O的直径 AC BC 又 AC BC PA BC PA AC A BC 面PAC PC 平面PAC BC PC 故图中有四个直角三角形 PAC PBC PAB ABC 返回目录 线线垂直可由线面垂直的性质推得 直线和平面垂直 这条直线就垂直于平面内所有直线 这是寻找线线垂直的重要依据 如图 已知矩形ABCD 过A作SA 平面AC 再过A作AE SB交SB于E 过E作EF SC交SC于F 1 求证 AF SC 2 若平面AEF交SD于G 求证 AG SD 返回目录 证明 1 SA 平面AC BC 平面AC SA BC 四边形ABCD为矩形 AB BC BC 平面SAB BC AE 又SB AE AE 平面SBC AE SC 又EF SC SC 平面AEF AF SC 2 SA 平面AC SA DC 又AD DC DC 平面SAD DC AG 又由 1 有SC 平面AEF AG 平面AEF SC AG AG 平面SDC AG SD 返回目录 返回目录 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 求证 MN 平面PCD 考点2线面垂直 分析 1 因M为AB中点 只要证 ANB为等腰三角形 则利用等腰三角形的性质可得MN AB 2 已知MN CD 只需再证MN PC 易看出 PMC为等腰三角形 利用N为PC的中点 可得MN PC 返回目录 证明 1 如图 连接AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在Rt PAC中 N为PC中点 AN PC PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 从而在Rt PBC中 BN为斜边PC上的中线 BN PC AN BN ABN为等腰三角形 又M为底边的中点 MN AB 又 AB CD MN CD 2 连接PM CM PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC PA BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 返回目录 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 返回目录 返回目录 如图所示 Rt ABC的斜边为AB 过A作AP 平面ABC AE PB于E AF PC于F 求证 PB 平面AEF 证明 AP 平面ABC AP BCBC ACAP CA A AF PCAE PBBC AFAF 面PBCAF PBBC PC C AF AE A 返回目录 BC 面APC AF 面APC PB 面AEF 返回目录 2009年高考山东卷 如图7 5 6 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD为等腰梯形 图AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1分别是棱AD AA1的中点 1 设F是棱AB的中点 证明 直线EE1 平面FCC1 2 证明 平面D1AC 平面BB1C1C 考点3面面垂直 证明 1 证法一 取A1B1的中点为F1 连结FF1 C1F1 由于FF1 BB1 CC1 所以F1 平面FCC1 因此平面FCC1即为平面C1CFF1 连结A1D F1C 由于A1F1D1C1CD 所以四边形A1DCF1为平行四边形 因此A1D F1C 又EE1 A1D 得EE1 F1C 而EE1 平面FCC1 F1C 平面FCC1 故EE1 平面FCC1 返回目录 分析 证明线面平行 可转化为证线线平行或面面平行 故由条件寻求转化的关系 而证明面面垂直 一般用判定定理证明 证法二 因为F为AB的中点 CD 2 AB 4 AB CD 所以CDAF 因此四边形AFCD为平行四边形 所以AD FC 又CC1 DD1 FC CC1 C FC 平面FCC1 CC1 平面FCC1 AD DD1 D AD 平面ADD1A1 DD1 平面ADD1A1 所以平面ADD1A1 平面FCC1 又EE1 平面ADD1A1 所以EE1 平面FCC1 故平面D1AC 平面BB1C1C 返回目录 2 连结AC 在 FBC中 FC BC FB 又F为AB的中点 所以AF FC FB 因此 ACB 90 即AC BC 又AC CC1 且CC1 BC C 所以AC 平面BB1C1C 而AC 平面D1AC 故平面D1AC 平面BB1C1C 返回目录 返回目录 证明线面垂直的方法 证明一个面过另一个面的垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线与添加辅助线解决 返回目录 如图 ABC为正三角形 EC 平面ABC BD EC且EC CA 2BD M为EA中点 求证 1 平面BDM 平面ACE 2 平面DEA 平面ECA 返回目录 证明 1 取CA中点N 连结MN BN 在 ACE中 M N分别为AE AC中点 MN EC MN EC 而BD EC BD EC BD MN B D M N四点共面 EC 平面ABC BN 平面ABC EC BN 又 BN AC BN EC AC EC C BN 面ECA 又BN