初中数学竞赛专题选讲《最大最小值》.doc

初中数学竞赛专题选讲最大 最小值 一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；若a0，y，这时取等号，则y 为最小值；若a0,b0,a+b=k .(k为定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即(y)24k 0，y24k0.y2(不合题意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程组得a=b=. 当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，y20.即0，6x3x2 0， x22x 0. 解得0x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在区间0x2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的两个实数根.a,b都是正实数，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合题意舍去.当k16取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图abc的边bc=a, 高ad=h, 要剪下一个 矩形efgh，问eh取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设eh=x, s矩形=y, 则gh=.ahgabc， . y=. 当x=时，y 最大值 =. 即当eh=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m n，a，b，c都是定点，ab=a, ac=b, 点p在ac上，bp的延长线交直线m于d.问：点p在什么位置时，spab+spcd最小？解：设bac=，pa=x, 则pc=bx. mn，.cd=spab+spcd=axsin+(bx) sin=asin(=asin(2x+. 2x =2b2 (定值)，根据定理二，2x +有最小值. 当2x =， x=时，spab+spcd的最小值是(1)absin.例5.已知：rtabc中, 内切圆o的半径 r=1.求：sabc的最小值. 解：sabc=ab ab 2s.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2s 代入，得 4+4s4(a+b) =0. a+b=s+1.ab=2s且a+b=s+1.a,b是方程x2(s+1)x+2s=0 的两个根.a,b是正实数，0，即 (s+1)242s 0，s26s+10 .解得s3+2或s32. s32不合题意舍去.sabc的最小值是3+2.例6.已知：.如图abc中，ab=，c=30.求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=ya. 根据余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)cos30 写成关于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是实数，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三 ab和c都有定值. 当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abcos30可求出a=b=4+2.三、练习1.x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,则x+的最小值是_.6. 如图直线上有a、b、c、d四个点.那么到a，b，c，d距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图abc中，ab=2，ac=3，是以ab，bc，ca为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是 ( )（a） tan48+cot48 .(b)sin48+cos48.(c) tan48+cos48. (d)cot48+sin48. (1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=x2+2x+8与横轴交于b，c两点，点d平分bc，若在横轴上侧的点a为抛物线上的动点，且bac为锐角，则ad的取值范围是_(1986年全国初中数学联赛题) 10.如图abc中，c=rt，ca=cb=1，点p在ab上，pqbc于q.问当p在ab上什么位置时，sapq最大？11.abc中，ab=ac=a，以bc为边向外作等边三角形bdc，问当bac取什么度数时ad最长？12.已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.abc中b=，ac=1，求ba+bc的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.d，e，f分别在abc的边bc、ac、ab上，若bddc=ceea=affa=k(1k) (0k1). 问k取何值时，sdef的值最小？16.abc中，bc=2，高ad=1，点p，e，f分别在边bc，ac，ab上，且四边形peaf是平行四边形.问点p在bc的什么位置时，speaf的值最大？练习题参考答案1. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.bc上，bc+ad.7. 最大值是9，s=32sinbac,bac=90度时值最大.8.(a). 9. 3ad9 10. p在ab中点时，s最大值=，s=x与x的和有定值，当x=x时，s值最大.11.当bac=120度时，ad最大，在abd中，设bad=由正弦定理，当150=90