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不等式的恒成立问题枣阳二中 侯丽在高中阶段，不等式的恒成立问题是考题中常见的重要题型，但学生尽管训练了一遍又一遍，一到考试又会遇到这样那样的问题。现对这个问题，由例析浅谈一下自己的观点。例1.已知函数的定义域R，求实数a的取值范围。 解：要使函数有意义，则 定义域为R 恒成立。. 当即 时 不满足题意 时 恒成立. 或.当时，二次函数不可能恒大于0由可知：或结论：.形如对任意恒成立可讨论两种情况： .形如对任意恒成立可讨论两种情况： 只要是形如二次函数的不等式在R上的恒成立问题，都可引用此种方法（判别式法）。例2.已知函数对任意，恒成立，求实数a的取值范围。解： 法一：分离变量法 要使恒成立 只需 恒成立 即 法二：应用函数法 令 要使恒成立 只需在的最小值大于或等于0。 结论：只要是不等式在变量的某一区间内（除R上）的恒成立问题，均可用分离变 量法或应用函数法。分离变量法：把两变量分离到不等式的两边，且把未知范围的变量写到不等式的左边，转变为形如：或。应用函数法：把不等式看成已知范围的变量的函数，另一变量暂看作已知数，转变为或恒成立，仅需或，转化成求出的最值问题。例3.已知不等式（1） 若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围。（2） 若对于不等式恒成立，求实数x的取值范围。解 （1）此题是形如二次函数的的不等式且对都成立，所以采用判别式法。原不等式可化简为.当时, 不对任意实数成立.当时, 无解由得：m无解（3） 变量，则可用分离变量法或应用函数法。 法一：分离变量法：当即或时 恒成立又 即 又或 当即或 （）当时 恒成立 （）当时 不成立 当 即时 恒成立 又即或又 由知： 法二：应用函数法 令 仅需 得：若同学们对这类题的特征及作法熟练掌握住,无论它形式上怎么变,我们都能应对自如.练习: 若对于任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 提示:方法一：.当时,显然成立. .当0时,k恒成立k1 .当0时,kk0. 由. . . 0k1 方法二:令函数,仅需前个函数图像永在后个函数图像 的上方.解得0k1 若不等式,对任意恒成立,求实数的取值范围. 提示:令,原
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