北京高三数学 最新试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题5数列 文.doc

【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题5：数列一、选择题 （2013届北京市延庆县一模数学文）已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为（）a3或b3或cd （2013届北京东城区一模数学文科）对于函数,部分与的对应关系如下表:123456789745813526数列满足,且对任意,点都在函数的图象上,则的值为（）a9394b9380c9396d9400 （2013届北京丰台区一模文科）设为等比数列的前项和,则（）a2b3c4d5 （2013届北京海滨一模文）等差数列中, 则的值为（）abc21d27 （2013届北京门头沟区一模文科数学）在等差数列中,则的值是（）a15b30c31d64 （2013届北京西城区一模文科）设等比数列的公比为,前项和为,且.若,则的取值范围是（）abcd （2013届房山区一模文科数学）已知为等差数列,为其前项和.若,则（）abcd （2013届房山区一模文科数学）设集合是的子集,如果点满足:,称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有:; ; ; （）abcd （北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）如图,矩形的一边在轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,记矩形的周长为,则（）a208b212c216 d.220（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在数列中 ，则的值为（）a7b8c9d16（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于（）abcd二、填空题（2013届北京市延庆县一模数学文）已知定义在正整数集上的函数满足以下条件:(1),其中为正整数;(2).则_.（2013届北京东城区一模数学文科）数列an的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增加两项,若, 则位于第10行的第8列的项等于_,在图中位于_.(填第几行的第几列)（2013届北京大兴区一模文科）已知数列,数列的前n项和为,则n=_.（2013届北京大兴区一模文科）已知函数是定义在上的单调递增函数,且时,若,则_;_（2013届北京西城区一模文科）已知数列的各项均为正整数,其前项和为.若且,则_;_.（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等比数列中，则公比 ； （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知是等差数列的前项和，其中则（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为 .（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:，若，；则 ； . （北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ， （北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）数列是公差不为0的等差数列，且，则（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）任給实数定义 设函数，则=_；若是公比大于的等比数列，且，则（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等差数列中，若，前5项的和，则（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时， 的值为 .三、解答题（2013届北京东城区一模数学文科）设是由个有序实数构成的一个数组,记作:.其中 称为数组的“元”,称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”,则称为的子数组. 定义两个数组,的关系数为.()若,设是的含有两个“元”的子数组,求的最大值;()若,且,为的含有三个“元”的子数组,求的最大值.北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(一（2013届北京丰台区一模文科）设满足以下两个条件的有穷数列为n(n=2,3,4,)阶“期待数列”:;.()分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;()若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;()记n阶“期待数列”的前k项和为,试证:.丰台区2013年高三年级第二学期统一练习(一（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知数列的前项和为,满足下列条件;点在函数的图象上; (i)求数列的通项及前项和;(ii)求证:.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效（2013届北京大兴区一模文科）已知数列的各项均为正整数,且,设集合.性质1 若对于,存在唯一一组()使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记,且对于任意,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;()若数列的通项公式为,求集合,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;()若数列的通项公式为,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和.()若数列为阶完美数列,试写出集合,并求数列通项公式.2013年高三统一练（2013届北京西城区一模文科）已知集合. 对于,定义;与之间的距离为.()当时,设,求;()证明:若,且,使,则;()记.若,且,求的最大值.北京市西城区2013年高三一模试（2013届房山区一模文科数学）对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示.例如对于实数,无穷数列满足如下条件:, 其中 ()若,求数列的通项公式;()当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合;()设 (是正整数,与互质),对于大于的任意正整数,是否都有成立,证明你的结论.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知函数,当时,的值中所有整数值的个数记为.()求的值,并求的表达式;()设,求数列的前项和;()设,若对任意的,都有成立,求的最小值.东城区普通高中示范校高三综合练习(二（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据 :)（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列，求；求的值；（）若中最大的项为50， 比较的大小.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证： （北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.（）求的值及数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知实数组成的数组满足条件：； .() 当时，求，的值；（）当时，求证：；（）设,且，求证：.（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共14分）已知曲线，是曲线c上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.（）求、的坐标；（）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数n，当nn时，都有，若存在，求出n的最小值;若不存在，说明理由.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（）证明：当时，（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令（）对如下数表，求的值；（）证明：存在，使得，其中；（）给定为奇数，对于所有的，证明：（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版）（本小题满分13分）已知函数同时满足：函数有且只有一个零点；在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前项和（）.() 求函数的表达式；() 求数列的通项公式；() 在各项均不为零的数列中，所有满足的整数的个数称为数列的变号数. 令，求数列的变号数.【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题5：数列参考答案一、选择题 c a b a a b; d a c 【答案】b解：因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选b. 【答案】c解：因为，所以，解得，所使用，解得，选c.二、填空题 第行的第列 注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分. ,. 【答案】解：在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。 【答案】6；9解：由得。所以。 【答案】解：因为是等比数列，所以，所以。是等差数列。所以。 【答案】 解：根据定义得。，所以根据归纳推理可知。 【答案】 解：由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，所以第5行的公比为，所以。由题意知，所以第行的公比为，所以 【答案】解：在等差数列中，由得，即，所以。 【答案】；解：因为，所以。因为，所以，所以。若，则有，所以。此时，即，所以，所以。而。在等比数列中因为，所以，即，所以，所以，若，则，即，解得。若，则，即，因为，所以，所以方程无解。综上可知。 【答案】解：在等差数列中，解得，所以。答案由题意知年平均利润，因为，当且仅当，即时取等号。所以，所以。三、解答题 (共13分) 解:()依据题意,当时,取得最大值为2. ()当是中的“元”时,由于的三个“元”都相等,及中三个“元”的对称性,可以只计算的最大值,其中. 由, 得 . 当且仅当,且时,达到最大值, 于是. 当不是中的“元”时,计算的最大值, 由于, 所以. , 当且仅当时,等号成立. 即当时,取得最大值,此时. 综上所述,的最大值为1. 设满足以下两个条件的有穷数列为n(n=2,3,4,)阶“期待数列”: ; . ()分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”; ()若某个2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; ()记n阶“期待数列”的前k项和为,试证:. 解:()数列为三阶期待数列 数列为四阶期待数列, (其它答案酌情给分) ()设该2013阶“期待数列”的公差为, 因为, 即, , 当d=0时,与期待数列的条件矛盾, 当d0时,据期待数列的条件可得 , 该数列的通项公式为, 当d0时,同理可得 ()当k=n时,显然成立; 当kn时,根据条件得 , 即, 解:(i)由题意 当时 整理,得 又,所以或 时, 得, 时, 得, (ii)证明:时, ,所以 时, , 因为 所以 综上 注:不同解法请教师参照评标酌情给分. 解:(); 为2阶完备数列,阶完整数列,2阶完美数列; ()若对于,假设存在2组及()使成立,则有 ,即 ,其中,必有, 所以仅存在唯一一组()使成立, 即数列为阶完备数列; ,对,则,因为,则,所以,即 ()若存在阶完美数列,则由性质1易知中必有个元素,由()知中元素成对出现(互为相反数),且,又具有性质2,则中个元素必为 . ()解:当时,由, 得 , 所以 ()证明:设,.因为 ,使, 所以 ,使得 , 所以 ,使得 ,其中. 所以 与同为非负数或同为负数 所以 ()解法一:. 设中有项为非负数,项为负数.不妨设时;时,. 所以 因为 , 所以 , 整理得 . 所以 因为 ; 又 , 所以 . 即 对于 ,有 ,且,. 综上,的最大值为 解法二:首先证明如下引理:设,则有. 证明:因为 , 所以 , 即 . 所以 上式等号成立的条件为,或,所以 对于 ,有 ,且,. 综上,的最大值为 () , , , 所以 () , 则 ,从而 则 所以 解得: (,舍去) 所以集合 ()结论成立 易知是有理数,所以对一切正整数,为0或正有理数, 设(是非负整数,是正整数,且互质) 由,可得; 若,设(,是非负整数) 则 ,而由得 ,故,可得 若则, 若均不为0,则这个正整数互不相同且都小于,但小于的正整数共有个,矛盾. 故中至少有一个为0,即存在,使得. 从而数列中以及它之后的项均为0, 所以对于大于的自然数,都有 (共14分) 解:()当时,在上递增, 所以, 因为在上单调递增, 所以, 从而 ()因为, 所以 .- 当是偶数时, ; 当是奇数时, (), , , 错位相减得, 所以, 因为, 若对任意的,都有成立,则, 所以,的最小值为 （）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数. 3分（）由，得，两式相减得，所以 5分经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列. 8分（）,所以是单调递减函数.由题意知，且,由得，解得,由得，解得.即数列最多有26项. 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】解: (i) 因为数列，所以，所以 . 8分.10分(ii) 一方面，根据的含义知， 故，即 ， 当且仅当时取等号.因为中最大的项为50，所以当时必有， 所以即当时，有； 当时，有. 14分证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或 3分714582369（）当时，数表为此时，数表的“特征值”为 4分13159101426711153481216当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 5分21161116172227121318233891419244510152025当时，数表为此时，数表的“特征值”为. 6分猜想“特征值”为. 7分（）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为所以，从而 13分解：（）当时，.1分当时，.3分因为是等比数列，所以，即.5分所以数列的通项公式为.6分（）由（）得，设数列的前项和为.则. . -得 9分11分.12分所以.13分 ()解： 由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以2分当时，同理得4分（）证明：当时，由已知,.所以.9分（）证明：因为，且.所以,即 .11分).14分解：（）b0a1b1