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数学高考总复习:四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题:可以判断真假的语句。二、四种命题原命题:若则; 原命题的逆命题:若则;原命题的否命题:若,则; 原命题的逆否命题:若,则三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系2、互为逆否关系的命题同真同假,即原命题与逆否命题的真假性相同,原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以,如果某些命题(特别是含有否定概念的命题)的真假性难以判断,一般可以判断它的逆否命题的真假性。四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件,首先必须分清谁是条件,谁是结论,然后利用定义法、转换法和集合法来判断。如:命题是命题成立的条件,则命题是条件,命题是结论。又如:命题成立的条件是命题,则命题是条件,命题是结论。又如:记条件对应的集合分别为a,b则,则是的充分不必要条件;,则是的必要不充分条件。2、“”读作“推出”、“等价于”。,即成立,则一定成立。3、充要条件已知命题是条件,命题是结论(1)充分条件:若,则是充分条件.所谓“充分”,意思是说,只要这个条件就够了,就很充分了,不要其它条件了。如:是的充分条件。(2)必要条件:若,则是必要条件.所谓“必要”,意思是说,这个条件是必须的,必要的,当然,还有可能需要其它条件。如:某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称,否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数,还必须满足才是偶函数,满足是奇函数。(3)充要条件:若,且,则是充要条件.【典型例题】类型一:四种命题及其关系例1. 写出命题“已知是实数,若ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。解析:逆命题:已知是实数,若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题; 否命题:已知是实数,若ab0,则a0且b0,真命题; 逆否命题:已知是实数,若a0且b0,则ab0,真命题。点评:1.“已知是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;2. 互为逆否命题的两个命题同真假;3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三:【变式】写出下列命题的否定,并判断真假.(1)xr,x2x10;(2)xq, x2x1是有理数;(3)、r,使sin()sinsin;(4)x,yz,使3x2y10.【解析】(1)的否定是“xr,x2x10”.假命题.(2)的否定是“xq,x2x1不是有理数”.假命题.(3)的否定是“,r,使sin()sinsin”.假命题.(4)的否定是“x,yz,使3x2y10”.假命题.类型二:充要条件的判断例2.设有两个命题:p:x22x2m的解集为r;q:函数f(x)(73m)x是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围解析:若命题p为真命题,可知m1;若命题q为真命题,则73m1,即m0,得m4.综上,要使“pq”为真命题,只需p真q真,即解得实数m的取值范围是(4,8.点评:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。举一反三:【变式】设命题;命题,若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围.【答
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