北京高三数学 最新试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题圆锥曲线 理.doc

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲线一、选择题 （2013届北京大兴区一模理科）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于（）abcd （2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）abcd （2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）abcd （2013届东城区一模理科）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（）abcd （2013届门头沟区一模理科）已知p是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是abcd （北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为（）a4b8c16d32 （北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）方程的曲线是（）a一个点b一条直线c两条直线d一个点和一条直线 （北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（）abcd （北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（）abcd（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点p在双曲线上，且线段pf1的中点坐标为，则此双曲线的方程是（）abcd（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）ab cd二、填空题（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 . （北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”下面给出的三条曲线方程：；其中直线的“绝对曲线”有（填写全部正确选项的序号）aybox（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 . （北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 的两个焦点是，点在该椭圆上若，则的面积是_ （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以为渐近线且经过点的双曲线方程为_.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点的坐标为，点f是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 三、解答题（2013届北京大兴区一模理科）已知动点p到点a（-2,0）与点b（2,0）的斜率之积为，点p的轨迹为曲线c。()求曲线c的方程；()若点q为曲线c上的一点，直线aq，bq与直线x=4分别交于m、n两点，直线bm与椭圆的交点为d。求证，a、d、n三点共线。（2013届北京丰台区一模理科）已知以原点为对称中心、f(2,0)为右焦点的椭圆c过p(2，)，直线：y=kx+m(k0)交椭圆c于不同的两点a，b。（）求椭圆c的方程；（）是否存在实数k，使线段ab的垂直平分线经过点q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。（2013届北京海滨一模理科）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （i）求椭圆的方程；（ii）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.（2013届北京市延庆县一模数学理）已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.() 求动点的轨迹的方程；（）已知直线交轨迹于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足依次为点、.连接、，试探索当变化时，直线、是否相交于一定点？若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由.（2013届北京西城区一模理科）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 （）求该椭圆的离心率；（）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点记的面积为，（为原点）的面积为，求的取值范围（2013届东城区一模理科）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为（）求椭圆的方程；（）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值（2013届房山区一模理科数学）已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点.（）求抛物线的方程；（）证明abo与mno的面积之比为定值.（2013届门头沟区一模理科）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆的离心率为（i）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；（ii）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于a，b两点.（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点m，若，求实数满足的关系式.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点（）求曲线的轨迹方程；（）是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知椭圆c：，左焦点，且离心率(）求椭圆c的方程；()若直线与椭圆c交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆c的右顶点a.求证：直线过定点,并求出定点的坐标.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，（）求的值；（）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(i)求椭圆的方程;(ii)当的面积达到最大时,求直线的方程.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点f作直线，交椭圆于两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线都是以原点o为对称中心、离心率相等的椭圆点m的坐标是（0,1），线段mn是的短轴，是的长轴.直线与交于a,d两点（a在d的左侧），与交于b,c两点（b在c的左侧）（）当m= ， 时，求椭圆的方程；（）若oban，求离心率e的取值范围（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于a、b两点，以线段为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，的面积为. （）求椭圆的方程；（）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知为原点，求证：为定值.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲线参考答案一、选择题 d b d d c 【答案】d解：双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过a做垂直于准线于m,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选d. 【答案】c【解析】由得，即，为两条直线，选c. 【答案】d 【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选d. ,【答案】b【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选b. 【答案】b解：由双曲线的焦点可知，线段pf1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点p在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选b. 【答案】d解：当点p位于椭圆的两个短轴端点时，为等腰三角形，此时有2个。,若点不在短轴的端点时，要使为等腰三角形，则有或。此时。所以有，即，所以，即，又当点p不在短轴上，所以，即，所以。所以椭圆的离心率满足且，即，所以选d.二、填空题 ； 【答案】解：由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以的面积。答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以. 【答案】解：双曲线的渐近线为，不妨取，即。双曲线的右焦点为，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。 【答案】解：因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴，且，又双曲线的渐近线为，所以双曲线为等轴双曲线，即，所以双曲线的方程为。 【答案】9解：由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。，即，所以，当且仅当三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9.三、解答题解：（i）设p点坐标，则（），（），由已知，化简得：.所求曲线c的方程为（）。（ii）由已知直线aq的斜率存在，且不等于0，设方程为，由，消去得：（1）.因为，是方程（1）的两个根，所以，得，又，所以。当，得，即。又直线bq的斜率为，方程为，当时，得，即。直线bm的斜率为，方程为。由，消去得：（2）.因为2，是方程（2）的两个根，所以， 得，又，即。由上述计算：，。因为，所以。所以a、d、n三点共线。解：（）设椭圆c的方程为，由题意，解得，所以椭圆c的方程为. 5分（）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点q（0,3），设a(x1,y1)、b(x2,y2)，ab的中点为n(x0,y0),由得, 6分，所以,7分, ，, 8分线段ab的垂直平分线过点q（0,3），即，10分 ，整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。13分解：（i）设椭圆的焦距为，因为，所以，所以. 所以椭圆：4分（ii）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则，6分所以7分点（，0）到直线的距离则9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以11分当时，12分当时，又显然, 所以综上，14分解：()由题意得，化简并整理，得 .所以动点的轨迹的方程为椭圆. 3分（）当时，、，、直线的方程为：，直线的方程为：，方程联立解得，直线、相交于一点.假设直线、相交于一定点. 5分证明：设，则，由消去并整理得，显然，由韦达定理得，. 7分因为，所以 11分所以，所以、三点共线， 12分同理可证、三点共线，所以直线、相交于一定点.14分 （）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为 1分设 ，则 2分将 代入 ，解得 3分所以椭圆的离心率为 4分（）解：由（），椭圆的方程可设为 5分设，依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得 7分则 ，8分因为 ，所以 ， 9分因为 ，所以 11分13分所以的取值范围是 14分解：（i）由题意知，所以因为所以，所以 所以椭圆的方程为 （ii）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.又，两点在椭圆上，所以，所以点到直线的距离 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得 由已知设，所以，因为，所以所以即所以整理得，满足 所以点到直线的距离为定值 （）由焦点坐标为 可知所以所以抛物线的方程为4分（）当直线垂直于轴时，与相似，所以 .6分当直线与轴不垂直时，设直线ab方程为7分设，解 整理得 ，所以 .9分.14分综上 （）解：设点的坐标为由题意知 3分化简得 所以动点的轨迹方程为 5分（）设直线的方程为，点因为，所以有，由已知得，所以有（1） 7分由，得，（2），（3） 10分由（1）（2）（3）得或所以 存在点为 13分解析：（1）设动点的坐标为，由题意得 2分化简得 当时；当时所以动点的轨迹的方程为和（） 5分（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 由 设则 ， 7分因为，所以的斜率为设，则同理可得 ， 8分 11分 13分当且仅当即时，取最小值16 14分解：（i） 解得椭圆的方程为 4分（ii）（i）e椭圆的方程可化为： 易知右焦点，据题意有ab： 由，有： 设， 8分（2）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立.设m（x，y），又点m在椭圆上， 由有：则 又a，b在椭圆上，故有 将，代入可得： 14分解.（）由椭圆定义可知，点的轨迹c是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆3分故曲线的方程为 5分（）存在面积的最大值. 6分因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）则整理得 7分由设 解得 ， 则 因为 10分设，则在区间上为增函数所以所以，当且仅当时取等号，即所以的最大值为13分解：（）由题意可知： 1分解得 2分所以椭圆的方程为： 3分（ii）证明：由方程组 4分整理得 .5分设则 .6分由已知，且椭圆的右顶点为 7分 8分 即也即 10分整理得： 11分解得均满足 12分当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去13分当时，直线的方程为,过定点 故直线过定点，且定点的坐标为 .14分 （）解：依题意，设直线的方程为 1分将其代入，消去，整理得 4分从而 5分（）证明：设， 则 7分设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 9分所以 10分同理可得 11分故 13分由（）得 ，为定值 14分解:(i)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为. 由直线与圆相切,得, 所以或(舍去). 当时, 故椭圆的方程为 (ii)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为. 因为点在椭圆内, 所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点. 由得. 设点的坐标分别为,则 , 所以 . 又因为点到直线的距离, 所以的面积为 设,则且, . 因为, 所以当时,的面积达到最大, 此时,即. 故当的面积达到最大时,直线的方程为 解: （）由已知，可设椭圆方程为， 1分则 ， 2分所以， 3分所以椭圆方程为 4分（）若直线轴，则平行四边形aobc中，点c与点o关于直线对称，此时点c坐标为因为 ，所以点c在椭圆外，所以直线与轴不垂直 6分于是，设直线的方程为，点， 7分则 整理得， 8分， 9分所以 10分因为 四边形为平行四边形，所以 ， 11分所以 点的坐标为， 12分所以 ， 13分解得，所以14分