方程的理解.doc

关于方程的理解什么是方程？ 几乎所有的教材都这样定义：“含有未知数的等式叫方程”。这个定义有不足，西南大学的代数学博士生导师陈重穆教授曾经指出：“含有未知数的等式叫方程”。这样的定义要淡化，不要记。无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义。原因：1、 函数也是含有未知数的等式s=vt,y=1/x,容易和方程混淆；2、 A+b=b+a，也是含有未知数的等式。是不是方程？3、 我们并不是要研究一切含有未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻求未知数的方程，才去面对。例如，0x=0, x-x=0,这样的等式，我们是不研究的，因为它们不能帮助我们寻求未知的信息。4、 方程的核心是“求”未知数，在定义中没有体现。因此，这一定义可有可无，没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。5、 一个对象的定义，最好能够帮助人们进行理解。正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，至少需要一份简历。好的定义相当于一份简历。 我国已故数学家关肇直先生：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道未知量与已知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知数来。这就是解方程的问题。 因此，再次给出以下的方程定义： “方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”这样定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。 实际上，方程思想来源于人们的生活现实。为了结识一位未知的先生，我们通过熟人作为中介进行介绍，借助这层关系得以认识这位不熟悉的先生。二者在思想意境上是相通的。方程是一种应用广泛的数学模型 （标准）：“方程是刻画现实世界的有效模型”。现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象模型。例如，行程问题、工程问题、折扣问题，百分比问题等许多不同领域中的数量关系，最后都可以归结为关于x的一元一次方程ax=b。这样的方程，是这类问题的共同数学模型。 和一般的建立数学模型过程一样，方程模型也是首先在某种情境中发现关系，然后用自然语言描述等量关系，再用数学语言描述相应的关系，并引入未知数表达这个等量关系。 可以说，算术是一种算法，依照给定的程序，可以得出要求的未知数；方程是一种模型，反映出所研究问题中存在的某种相等关系。例如：甲的速度是50千米/小时，行了100千米需要多少小时？算术方法只是给出10050的等式。方程则要给出模型50x=100,这是一个等式关系-一元一次方程。 对于低年级用不定元表示的未知数如： 5-（ ）=3，（ ）=？ 3（ ）=9，（ ）=？这是四则运算的逆向思考，对求解方程非常有用。这样的训练，还不是建立数学模型。这里的等式关系是已经给出的，并非是为了寻求未知数由学生自己而建立起来的。 但是，方程并不依赖某个实际过程，而是一个独立的数学领域，具有深刻的纯粹数学的价值。例如x+y=z(n3)没有整数解，这是一个纯粹的理论问题，并不是某个已知实际问题的数学模型。 “方程”是一个深刻的思想，具有无穷无尽的发展空间：代数方程、微分方程、不定方程等不一而足。事实上，小学生学习方程的困难，主要在于：1、 不能很快理解已知数和未知数的平等关系。表现为，设了未知数x，但总想列出等式x=（右端不含未知数）。这是披着代数外衣的“算术解法”。2、 不能很快理解用字母表示已知数，取得问题的公式解。3、 一个常见的书写错误是不能区分恒等变换和同解变换。例如，解x+3=6，学生会写成：x+3=6-3=3;2x+3x=10=5x=10.4、 这是把算术中的等号用法搬到代数里来，把“=”看成一个指示你去做运算的记号（6-3+1=3+1=4） 皮亚杰的心理学研究结果表明，9-12岁的儿童已经有守恒意识和逆向思维能力。方程的建立，借助守恒思想得到等式关系，而在求解建立方程时，借助逆向运算得到方程的解。解方程的核心思想是还原与对消 阿拉伯数学家花拉子米使用algebra(代数)一词时，解释说“这是还原和对消的科学。”方程的本质是建立了