北京四中高中数学 集合的含义及表示知识讲解（B） 新人教A版必修1.doc

集合及集合的表示（b层）【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合a的元素，就说a属于(belong to)a，记作aa(2)如果a不是集合a的元素，就说a不属于(not belong to)a，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作n正整数集，记作n*或n+整数集，记作z有理数集，记作q实数集，记作r要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，.3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（venn）图法. 如下图，就表示集合.【典型例题】1，2，3，4类型一：集合的概念及元素的性质例1 集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，即.点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设(1)若az，则是否有as？(2)对s中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1x2，是否属于集合s？解：(1)若az，则有as，即n=0时，xz，as；(2)x1，x2s，则m1，n1，m2，n2z，m1m2+2n1n2z，m1n2+m2n1zx1x2s.类型二：元素与集合的关系例2.用符号“”或“”填空(1)(2)(3)解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合a之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清a的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1) (2)令，则令，则(3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“”左边的元素组成的，符号“”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】 用符号“”或“”填空（1）若,则 ；-2 .（2）若则 ；-2 .答案：（1）， （2），类型三：集合中元素性质的应用例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）a. b. c. d. 答案： a解析：抓住本题的本质恒成立. 只要为中元素即可有. b中由已知即为符合已知条件形式.中即可. d中相当于已知中的也正确.只有a不一定正确.点评：本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.举一反三：【变式1】定义集合运算：.设集合，则集合的所有元素之和为a. 0 b. 6 c. 12 d. 18答案： d解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.例4. ，则m=( )a. 2，3 b. 1，2，3，4 c. 1，2，3，6 d. -1，2，3，4答案：d解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以由az，所以-1a4当a=-1时，符合题意；当a=0时，不符合题意；当a=1时，不符合题意；当a=2时，符合题意；当a=3时，符合题意；当a=4时，符合题意.故a=-1，a=2，a=3，a=4为m中元素，即m=-1，2，3，4，选项d正确.高清课程：集合的表示及运算 例1例5. 设集合=x|，当集合为单元素集时，求实数的值.答案：0，1解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.例6.已知集合，若，求实数的值及集合.答案：，解析：（1）若则.所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（2）若，则或，当时，满足题意；当时，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.综上，集合.点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合，求实数的值答案：解析：当，即时，满足题意；当即，时，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，时， 由上面知，满足题意故 例7设是实数集，且满足条件：若，则.（1）若，则中必还有另外两个元素；（2）集合不可能是单元素集；（3）集合中至少有三个不同的元素.答案：（1） （2）略 （3）略解析：（1）若，则，于是，故集合中还含有两个元素.（2）若为单元素集，则，即，此方程无实数解，与都为集合的元素，则不可能是单元素集.（3）由已知.现只需证明三个数互不相等.若方程无解，；若，方程无解，；若，方程无解，故集合中至少有三个不同的元素.点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.类型四：集合的表示方法例8试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案：；。解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件因此，用描述法表示为；方程有两个实数根因此，用列举法表示为.(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15x25，因此，用描述法表示为；大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，因此，用列举法表示为.点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.举一反三：【变式1】用列举法表示集合：(1)a=xr|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)b=(x，y)|x+y=3， xn， yn(3)c=y|x+y=3，xn， yn(4)(5)(6)p=x|x(x-a)=0， ar解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.(1)a=1，-2，-1，2(2)b=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)c=0，1，2，3(4)d=(0，0)(5)m=0(6)当a0时，p=0，a；当a=0时，p=0.点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，