北京市中考数学二模试题分类 代数综合（教师版）.doc

2012年北京市中考数学二模分类汇编代数综合题整数根、系数是整数问题1.（昌平23）已知m为整数，方程=0的两个根都大于-1且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值23解： 设 1分 的两根都在和之间， 当时，即： 2分当时，即： 3分 4分 为整数， 5分 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意 当时，方程，符合题意 当时，方程，不符合题意综合可知， 6分2.（房山）23）已知：关于x的方程mx23(m1)x2m3=0.当m取何整数值时，关于x的方程mx23(m1)x2m3=0的根都是整数；若抛物线向左平移一个单位后，过反比例函数上的一点（-1,3），求抛物线的解析式；利用函数图象求不等式的解集. 解：23解：当m=0时，x=1-1分当m0，可解得x1=1，x2=-2分时，x均有整数根-3分综上可得时，x均有整数根抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x1)23(m1)(x1)2m3-4分过点（-1,3）代入解得m=3 抛物线解析式为y= 3x26x3-5分k=13=3-6分x1或1x0-7分3.（平谷23）已知抛物线（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为若为坐标轴上一点，且，求点的坐标23解：（1）证明：令，则因为，1分所以此抛物线与轴有两个不同的交点2分（2）因为关于的方程的根为， 由为整数，当为完全平方数时，此抛物线与轴才有可能交于整数点 设（其中为整数），3分所以因为与的奇偶性相同，所以或解得经检验，当时，关于的方程有整数根所以.5分 （3） 当时，此二次函数解析式为，则顶点的坐标为（） 抛物线与轴的交点为、 设抛物线的对称轴与轴交于，则 在直角三角形中，由勾股定理，得，由抛物线的对称性可得，又，即所以 为等腰直角三角形且所以为所求的点6分若满足条件的点在轴上时，设坐标为 过作轴于，连结、则由勾股定理，有； 即解得所以为所求的点7分综上所述满足条件的点的坐标为（）或（）4.（门头沟23） 已知抛物线yax2x2.(1)当a1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；(2)若代数式x2x2的值为正整数，求x的值；(3)若a是负数时，当aa1时，抛物线yax2x2与x轴的正半轴相交于点m(m，0)；当aa2时，抛物线yax2x2与x轴的正半轴相交于点n(n，0). 若点m在点n的左边，试比较a1与a2的大小.23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，a=-1,b=1,c=2.抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线x=.2分(2)代数式-x2+x+2的值为正整数，函数y=-x2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为，y的正整数值只能为1或2.当y=1时，-x2+x+21，解得，3分当y=2时，-x2+x+22，解得x3=0,x4=1.4分x的值为，0或1.（3）当a0时，即a10，a20.经过点m的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为,经过点n的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为.5分点m在点n的左边，且抛物线经过点(0,2)直线在直线的左侧6分. a1a2.7分5（怀柔23）已知抛物线 (m为常数) （1）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，求m的整数值； （2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点m(x1，y1)与点n(x1k，y2)在（2）中抛物线上 (点m、n不重合), 且y1=y2. 求代数式的值. 23解：（1）由题意可知，=54m0，.1分 又抛物线与轴交于两个不同的整数点， 54m为平方数，设k2 =54m，则满足要求的m值为1，1，5，11，19满足题意的m整数值的代数式为 (n为正整数). 3分（2）抛物线顶点在第三象限，只有m=1符合题意， 抛物线的解析式为.4分 （3）点m与n 在抛物线上， ， 整理，得 点m、n不重合，k0. 2x1 =k1.6分=6.7分6在平面直角坐标系xoy中，抛物线的顶点为m，直线，点为轴上的一个动点，过点p作轴的垂线分别交抛物线和直线于点a，点b. 直接写出a，b两点的坐标（用含的代数式表示）；设线段ab的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段ob与线段pm的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数（，为整数且），对一切实数恒有，求，的值. 25解：(1)，.2分图10(2) =ab=. =.3分 当时，取得最小值. 4分当取最小值时，线段ob与线段pm的位置关系和数量关系是obpm且ob=pm. (如图10) 5分 (3) 对一切实数恒有 ， 对一切实数，都成立. () 当时，式化为 0. 整数的值为0. 6分 此时，对一切实数，都成立.() 即 对一切实数均成立. 由得 0 () 对一切实数均成立. 由得整数的值为1.7分此时由式得，对一切实数均成立. ()即0对一切实数均成立. ()当a=2时，此不等式化为0，不满足对一切实数均成立.当a2时， 0对一切实数均成立，() 由，得 0 1, 且点a在点b的左侧，oa : ob=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为c，过点c作直线l /x轴, 将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线与新图象只有一个公共点p(x0, y0)且 y07时, 求b的取值范围.23. 解：（1） 抛物线与x轴交于a、b两点，1分 由得，由得， m的取值范围是且 2分（2） 点a、b是抛物线与x轴的交点， 令，即 解得 ， ， 点a在点b左侧， 点a的坐标为，点b的坐标为. 3分 oa=1，ob= oa : ob=1 : 3， . 抛物线的解析式为 4分（3） 点c是抛物线与y轴的交点， 点c的坐标为.依题意翻折后的图象如图所示 令，即 解得, 新图象经过点d. 当直线经过d点时，可得.当直线经过c点时，可得当直线与函数 的图象仅有一个公共点p(x0, y0)时，得.整理得 由，得结合图象可知，符合题意的b的取值范围为或 7分通州22已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求的取值范围.22. .解：（1）分两种情况讨论.当时，方程为，方程有实数根,.(1分)当，则一元二次方程的根的判别式不论为何实数，成立，方程恒有实数根 .(2分)综合、可知取任何实数，方程恒有实数根.(3分)（2）二次函数的图象与经过（0,0） .(4分)二次函数解析式为：.(5分)（3）在（2）条件下，直线与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知当时，得由得 .(6分)综上所述可知：当时，直线与（2）中的图象有两个交点. .(7分)23.（延庆） 已知:关于x的一元二次方程(1)若此方程有实根,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,且m取最小的整数,求此时方程的两个根;(3)在(2)的前提下,二次函数与x轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆p,设直线l的解析式为y=x+b,若直线l与半圆p只有两个交点时,求出b的取值范围.23. （1）解：关于x的一元二次方程有实根 m0，且0.1分=（2m+2）2-4m（m-1）=12m+40解得m当m，且 m0时此方程有实根,.2分（2）解：在(1)的条件下,当m取最小的整数, m=1.3分原方程化为：x2-4x=0x（x-4）=0 x1=0，x2=4 . .4分（3）解：如图所示：当直线l经过原点o时与半圆p有两个交点，即b=05分当直线l与半圆p相切于d点时有一个交点，如图由题意可得rtedp、rteco是等腰直角三角形，dp=2 ep=.6分oc= 即b=当0b时，直线l与半圆p只有两个交点。.7分朝阳22已知二次函数（1）当c3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）若2x1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围22. 解：（1）由题意，得.当时，.解得，.该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（3,0），（1，0）2分（2）抛物线的对称轴为. 3分 若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为（1，0）. 有，解得.4分 若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有 当时， 0， 0，解得0. 当时，解得. 0.6分综上所述，c的取值范围是或0.利用反比例函数的性质分析问题23（石景山）已知：直线分别与 x轴、y轴交于点a、点b，点p（，b）在直线ab 上，点p关于轴的对称点p 在反比例函数图象上(1) 当a=1时，求反比例函数的解析式；(2) 设直线ab与线段po的交点为c当pc =2co时，求b的值；(3) 过点a作ad/y轴交反比例函数图象于点d，若ad=，求pdo的面积 解：备用图23（1）点在直线上, 时，=1分， ，代入 得， 2分（2）联结点和点关于轴对称轴 3分 =与轴交于点、点，可得 =4 5分（3）当点在第一象限时：点和点关于轴对称且在上 6分当点在第二象限时： 7分西城23. 在平面直角坐标系xoy中，a为第一象限内的双曲线（）上一点，点a的横坐标为1，过点a作平行于 y轴的直线，与x轴交于点b，与双曲线（）交于点c . x轴上一点位于直线ac右侧，ad的中点为e. (1)当m=4时，求acd的面积（用含，的代数 式表示）； (2)若点e恰好在双曲线（）上，求m的值； (3)设线段eb的延长线与y轴的负半轴交于点f，当点d的坐标为时，若bdf的面积为1，且cfad，求的值，并直接写出线段cf的长. 23解：(1)由题意得a，c两点的坐标分别为，（如图6） 1分 ， 点a在第一象限，点c在第四象限， 图6图7图8当m=4时，2分(2) 作egx轴于点g（如图7） egab，ad的中点为e， degdab，g为bd的中点 a，b，d三点的坐标分别为， ， 点e的坐标为 点e恰好在双曲线上， 3分 ， 方程可化为，解得4分(3)当点d的坐标为时，由(2)可知点e的坐标为（如图8） ， 5分设直线be的解析式为（a0） 点b，点e的坐标分别为， 解得 ， 直线be的解析式为 线段eb的延长线与y轴的负半轴交于点f， 点f的坐标为， 6分线段cf的长为 7分丰台23已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果抛物线与x轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k的值； （3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点c，点p是射线oc上的一个动点（点p不与点o、点c重合），过点p作垂直于x轴的直线，交抛物线于点m，点q在直线pc上，距离点p为个单位长度，设点p的横坐标为t，pmq的面积为s，求出s与t之间的函数关系式23解：（1）由题意得0 =1分 解得2分（2）且k为正整数，或23分 当时，与x轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当时，与x轴的交点不是整数点，故舍去 综上所述，4分（3） 点c的坐标是（5，5）oc与x轴的夹角为45 过点q作qnpm于点n ，（注：点q在射线pc上时，结果一样，所以只写一种情况即可）nqp=45，pq=，nq=1p（），则m（），pm=5分当时，；6分 当时，7分23（顺义）如图，直线ab经过第一象限，分别与x轴、y轴交于a、b两点，p为线段ab上任意一点（不与a、b重合），过点p分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为c、d设oc=x，四边形ocpd的面积为s（1）若已知a（4，0），b（0，6），求s与x之间的函数关系式；（2）若已知a（a，0），b（0，b），且当x=时，s有最大值，求直线ab的解析式；（3）在（2）的条件下，在直线ab上有一点m，且点m到x轴、y轴的距离相等，点n在过m点的反比例函数图象上，且oan是直角三角形，求点n的坐标23解：（1）设直线ab的解析式为，由a（4，0），b（0，6），得 解得直线ab的解析式为 1分oc=x，即（0 x 4） 2分 （2）设直线ab的解析式为，oc=x，当x=时，s有最大值， 解得直线ab的解析式为 3分a（，0），b（0，3）即， 5分（3）设点m的坐标为（，），由点m在（2）中的直线ab上，点m到x轴、y轴的距离相等，或当时，m点的坐标为（1，1）过m点的反比例函数的解析式为点n在的图象上，oa在x轴上，且oan是直角三角形，点n的坐标为 6分当时，m点的坐标为（3，-3），过m点的反比例函数的解析式为点n在的图象上，oa在x轴上，且oan是直角三角形，点n的坐标为 7分综上，点n的坐标为或大兴24已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）（1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；（2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（1，0）求二次函数的解析式；在平面直角坐标系中，如果点p到x轴的距离与点p到y轴的距离相等，则称点p为等距点求出这个二次函数图像上所有等距点的坐标（3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点m（m，0），点n（n，0）如果点n在点m的右边，且点m和点n都在点（1，0）的右边试比较a1和a2的大小，并说明理由.24解：（1） 1分（2）二次函数经过点（1，2）和（1，0） 解，得 即2分