北京市高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 9 圆锥曲线 文.doc

【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】:9:圆锥曲线（2013届北京东城区一模数学文科）已知点,抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点,使得最小,则点的坐标为（）abcdd抛物线的焦点，准线方程为，过点p，作准线的垂线交准线于b,则，所以,所以当三点共线时，最小，此时,所以,即点的坐标为。选d.（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（）abcdd抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中的。所以，即。所以椭圆的离心率为，选d.（2013届北京海淀一模文）抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为（）ab4c6dd抛物线的焦点为,准线方程为。据题意知，pmf为等边三角形，pf=pm，所以pm抛物线的准线，设p，则m，等边三角形边长为，所以由pm=fm，得，解得，所以等边三角形边长为4，其面积为。故选d（2013届北京门头沟区一模文科数学）点p是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作的外角平分线的垂线,垂足为m点,则点m的轨迹是（）a抛物线b椭圆 c双曲线d圆xmyqpof2f1d由题意，延长交延长线于q，得，由椭圆的定义知pf1+pf2=2a，故有pf1+pq=qf1=2a，连接om，知om是三角形f1f2q的中位线om=a，即点m到原点的距离是定值，由此知点m的轨迹是圆,故选d（2013届北京大兴区一模文科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是（）a1b2cdb，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选b.（2013届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程是_由题意知，所以，即，所以双曲线的方程为。（2013届北京市朝阳区一模数学文）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 . 抛物线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，即抛物线的方程为。其中，所以，所以抛物线的方程为。（2013届北京市石景山区一模数学文）设抛物线的焦点为f，其准线与轴的交点为q，过点f作直线交抛物线于a、b两点，若，则直线的方程为 设a（x1，y1），b（x2，y2）因为aqb=90，所以kaqkbq=-1，可得即y1y2=（x1+1）（x2+1），整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1（*），因为直线ab经过抛物线y2=4x的焦点f（1，0），所以根据抛物线的性质，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4，代入（*）得：4=1+（x1+x2）+1，可得x1+x2=2。结合x1x2=1，可得x1=x2=1，即a、b两点的横坐标相等，所以直线ab的方程为，即直线l的方程为。（2013届北京西城区一模文科）抛物线的准线方程是_;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则_.；由得焦点坐标为，准线方程为。过作准线的垂线交准线于，则，即，所以。（2013届北京市延庆县一模数学文）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交椭圆于两点,且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点(点在点之间).() 求椭圆的方程;()设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:()设椭圆的方程为,离心率, 的周长为, 解得,则, 所以椭圆的方程为 ()直线的方程为, 由,消去并整理得(*) ,解得, 设椭圆的弦的中点为,则“在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点,使得” 设,由韦达定理得, 所以, , 所以,解得 ,所以, 函数在定义域单调递增, 所以满足条件的点存在,的取值范围为 （2013届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分14分）已知椭圆过点,离心率为.（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.解：（）依题得解得，.所以椭圆的方程为. 4分（）根据已知可设直线的方程为.由得.设,则.直线，的方程分别为：，令，则,所以.所以. 14分（2013届北京东城区一模数学文科）已知椭圆:的两个焦点分别为,离心率为,且过点.()求椭圆的标准方程;(),是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,且这两条直线互相垂直,求证:为定值. ()解:由已知, 所以. 所以. 所以:,即. 因为椭圆过点, 得,. 所以椭圆的方程为. ()证明:由()知椭圆的焦点坐标为,. 根据题意, 可设直线的方程为, 由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为. 设,. 由方程组消得 . 则 . 所以=. 同理可得. 所以. （2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆c:()的右焦点为f(2,0),且过点p(2,).直线过点f且交椭圆c于a、b两点.()求椭圆c的方程;()若线段ab的垂直平分线与x轴的交点为m(),求直线的方程.【解】:()设椭圆c的方程为,则 ,解得,所以椭圆c的方程为, ()当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2),a(x1,y1)、b(x2,y2),ab的中点为n(x0,y0), 由得, 因为, 所以, 所以, 因为线段ab的垂直平分线过点m(), 所以,即,所以, 解得, 所以直线l的方程为 或 （2013届北京海淀一模文）已知圆:,若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为. (i)求椭圆的方程;(ii)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的值.解:(i)设椭圆的焦距为, 因为,所以 所以 所以椭圆: (ii)设(,),(,) 由直线与椭圆交于两点,则 所以, 则, 所以 点()到直线的距离 则 显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾, 因为,所以 所以 解得,即 （2013届北京门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且离心率为.(i)求椭圆的标准方程;(ii)过点p(0,1)的直线与该椭圆交于a、b两点,o为坐标原点,若,求的面积.解:(i)设椭圆方程为, 由,可得, 既所求方程为 (ii)设, 由有 设直线方程为,代入椭圆方程整理,得 解得 若, 则 解得 又的面积 答:的面积是 （2013届北京大兴区一模文科）已知动点p到点a(-2,0)与点b(2,0)的斜率之积为,点p的轨迹为曲线c.()求曲线c的方程;()若点q为曲线c上的一点,直线aq,bq与直线x=4分别交于m、n两点,直线bm与椭圆的交点为d.求线段mn长度的最小值.解:()设,由题意知 ,即 化简得曲线c方程为: ()思路一 满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 由()知,所以,设直线方程为, 当时得点坐标为,易求点坐标为 所以=, 当且仅当时,线段mn的长度有最小值. 思路二:满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 联立方程: 消元得, 设, 由韦达定理得:, 所以,代入直线方程得, 所以,又 所以直线bq的斜率为 以下同思路一 思路三:设,则直线aq的方程为 直线bq的方程为 当,得,即 当,得,即 则 又 所以 利用导数,或变形为二次函数求其最小值. （2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分） 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，左焦点到直线的距离等于长半轴长（）求椭圆的方程；（）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围解：（）由已知可得， 由到直线的距离为，所以， 3分解得 所求椭圆方程为. 5分（）由（）知, 设直线的方程为： 消去得 7分 因为过点，所以恒成立 设， 则， 中点 9分 当时，为长轴，中点为原点，则 10分当时中垂线方程 令， 11分 ， 可得 综上可知实数的取值范围是 13分（2013届北京西城区一模文科）如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.()若点的横坐标为,求直线的斜率;()记的面积为,(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由. ()解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为 将其代入,整理得 设,所以 故点的横坐标为. 依题意,得, 解得 ()解:假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直. 由()可得 因为 , 所以 , 解得 , 即 因为 , 所以 所以 , 整理得 因为此方程无解, 所以不存在直线,使得 （2013届房山区一模文科数学）已知椭圆和点