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第五节 函数展开成幂级数 前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数. 如果能找到这样的幂级数，我们就称函数在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数分布图示 引言 泰勒级数的概念 麦克劳林级数 函数展开成幂级数直接法 例1 例2 例3 例4 例5 常用麦克劳林展开式 函数展开成幂级数间接法 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 内容小结 课堂练习 习题125 返回内容要点 一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果能展开成的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于的麦克劳林级数. 二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1（E01）将函数展开成幂级数.解 由得于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、(介于0与之间)，有因有限,而是级数的一般项，所以即有于是 例2（E02）将函数展成x的幂级数.解 顺序循环地取于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、介于0与之间)，有有 于是 例3（E03）将函数展成x的幂级数.解 利用幂级数的运算性质,由的展开式逐项求导得例4（E04）将函数展成x的幂级数.解 因为而在上式两端从 0 到逐项积分,得上式对也成立.因为上式右端的幂级数当时收敛，而上式左端的函数在处有定义且连续.例5（E05）将函数展开成x的幂级数.解 所以于是的麦克劳林级数为 该级数相邻两项的系数之比的绝对值因此，该级数的收敛半径收域区间为设级数(1)的和函数为则可求得 即 (2)在区间的端点处，展开式(2)是否成立要看的取值而定.可证明:当时，收敛域为当时，收敛域为当时，收敛域为公式(2)称为二项展开式. 特别地,当为正整数时，级数成为的次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.例如，对应、的二项展开式分别为例6 将函数展开成的幂级数.解 利用间接法将函数展开成幂级数 例7（E06）将函数展开成x的幂级数.解 当时，级数收敛;当时，级数收敛.且当时，函数连续，所以例8（E07）将函数展开成x的幂级数.解 由于且所以例9（E08）将函数 展开成x的幂级数.解 例10 将函数 展开成的幂级数.解 而所以例11 将函数展开成的幂级数.解 因为逐项求导,得 所以 例12（E09）将函数展开成的幂级数.解 而 故 例
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