北京市高三数学一轮复习 试题选编19空间角与空间距离 理.doc

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离一、选择题 （2009高考(北京理)）若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60角,则到底面的距离为（）ab1 cd【答案】d【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查.依题意,故选d （2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）a线段b圆弧c椭圆的一部分d抛物线的一部分【答案】a二、解答题 （北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）abcdenm如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.【答案】解：（）连结，则.由已知平面，因为fabcdenmyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结.由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.，.10分设平面的法向量为.则 所以 令.所以.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分 （2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，md平面abcd，nbmd，且nb=1，md=2；（）求证：am平面bcn;（）求an与平面mnc所成角的正弦值；（）e为直线mn上一点，且平面ade平面mnc，求的值.【答案】解：（）abcd是正方形,bcad.bc平面amd,ad平面amd,bc平面amd.nbmd,nb平面amd,md平面amd,nb平面amd.nbbc=b,nb平面bcn, bc平面bcn,平面amd平面bcn3分am平面amd,am平面bcn4分(也可建立直角坐标系，证明am垂直平面bcn的法向量，酌情给分)（）平面abcd，abcd是正方形，所以，可选点d为原点，da,dc,dm所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5分则，,., 6分，,设平面mnc的法向量,则，令，则 7分设an与平面mnc所成角为,. 9分（）设，又，e点的坐标为， 11分面mdc,，欲使平面ade平面mnc，只要， . 14分 （北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直, 分别是的中点,.(1)求证:/平面;(2)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.【答案】解:(1)分别是的中点 / 又平面 /平面 (2) 在中,/, 平面平面, 平面,平面 平面 平面 所以无论在的何处,都有 (3) 由(2)平面 又 平面 是二面角的平面角 在中 所以二面角的平面角的余弦值为 法二: (2) 是的中点, 又平面平面 平面 同理可得平面 在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则, , ,设,则, 恒成立,所以无论在的何处,都有 (3)由(2)知平面的法向量为= 设平面的法向量为 则, 即 令,则, 所以二面角的平面角的余弦值为 （北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥p-abc中，pa=pb=ab=2，,平面pab平面abc，d、e分别为ab、ac中点.（）求证：de平面pbc;（）求证：abpe；（）求二面角a-pb-e的大小. 【答案】解：（） d、e分别为ab、ac中点，_e_d_b_c_a_p de/bc de平面pbc，bc平面pbc，de/平面pbc 4分（）连结pd，pa=pb， pd ab .5分，bc ab， de ab . .6分又 ，ab平面pde.8分pe平面pde，abpe .9分（）平面pab平面abc，平面pab平面abc=ab，pd ab， pd平面abc.10分如图,以d为原点建立空间直角坐标系_e_d_b_c_a_pzyx b(1,0,0)，p(0,0,)，e(0,0) ,=(1,0, )，=(0, , ） 设平面pbe的法向量，令得 .11分de平面pab，平面pab的法向量为.12分设二面角的大小为，由图知，所以即二面角的大小为 .14分 （2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图, 是正方形, 平面,.() 求证:;() 求二面角的余弦值;()设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论.【答案】()证明: 因为平面, 所以 因为是正方形, 所以, 所以平面, 从而 ()解:因为两两垂直, 所以建立空间直角坐标系如图所示 设,可知 则 , 所以, 设平面的法向量为,则,即, 令,则 因为平面,所以为平面的法向量, , 所以 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 ()解:点是线段上一个动点,设. 则,因为平面,所以, 即,解得 此时,点坐标为,符合题意 （2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱abca1b1c1中，是等边三角形，d是bc的中点（）求证：a1b/平面adc1；（）若ab=bb1=2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值【答案】证明：（i）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。连结交于o，则o是的中点，又d是bc的中点，所以在中，。因为平面，平面，所以平面。（ii）因为是等边三角形，d是bc的中点，所以。以d为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：，.则，设平面的法向量为。由，得到，令，则，所以.又，得。所以设与平面所成角为，则。所以与平面所成角的正弦值为。 （2013届北京市延庆县一模数学理） 如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.【答案】()证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面. 3分（）连结，设，建立空间直角坐标系， 则，5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为，则. 8分（）设，则， 10分设平面的法向量为，则，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时. 14分（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值【答案】（）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分解法二：取中点，中点，连结，因为为正方形，所以由（）可得平面因为，所以由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形是正方形,平面, 分别为,的中点.()求证:平面;()求平面与平面所成锐二面角的大小;()在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.adbcpefgh【答案】()证明:因为,分别为,的中点,所以. 又平面,平面, 所以平面 ()因为平面, 所以平面, 所以,. 又因为四边形是正方形, 所以. 如图,建立空间直角坐标系, 因为, adbcpefghzyx 所以, ,. 因为, 分别为,的中点, 所以,. 所以,. 设为平面的一个法向量,则,即, 再令,得.,. 设为平面的一个法向量,则, 即,令,得.所以=. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为 ()假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. 依题意可设,其中.由,则. 又因为,所以. 因为直线与直线所成角为, 所以=,即,解得. 所以,. 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时 （北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，cc1底面abc，ac=bc=2，cc1=4，m是棱cc1上一点（）求证：bcam；（）若n是ab上一点，且，求证：cn /平面ab1m；（）若，求二面角a-mb1-c的大小【答案】证明：（）因为三棱柱abc-a1b1c1中cc1平面abc，所以 cc1bc 1分因为ac=bc=2， 所以由勾股定理的逆定理知bcac 2分又因为accc1=c，所以bc平面acc1a1 3分因为am平面acc1a1，所以bcam 4分 （）过n作npbb1交ab1于p，连结mp ，则npcc1，且 5分于是有 由已知，有因为bb1=cc1所以np=cm所以四边形mcnp是平行四边形 6分所以cn/mp 7分因为cn平面ab1m，mp平面ab1m， 8分所以cn /平面ab1 m 9分（）因为 bcac，且cc1平面abc，所以 以c为原点，ca，cb，cc1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系c-xyz10分因为 ，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,4)， 11分设平面的法向量，则，即 令，则，即 12分又平面mb1c的一个法向量是， 所以 13分由图可知二面角a-mb1-c为锐角，所以 二面角a-mb1-c的大小为 14分（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（）证明：连接是长方体，平面， 又平面 1分在长方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如图建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则 令，则 7分 9分所以 与平面所成角的正弦值为 10分（）假设在棱上存在一点，使得平面.设的坐标为，则 因为 平面所以 ， 即， ，解得， 13分所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.14分（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,在长方体中,为的中点,为的中点.(i)求证:平面;(ii)求证:平面;(iii)若二面角的大小为,求的长.【答案】(i)证明:在长方体中, 因为平面,所以. 因为,所以四边形为正方形, 因此,又,所以平面. 又,且,所以四边形为平行四边形. 又在上,所以平面 (ii)取的中点为,连接. 因为为的中点,所以且, 因为为的中点,所以,而,且, 所以,且,因此四边形为平行四边形, 所以,而平面,所以平面 (iii)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设, xyz 则, 故. 由(i)可知平面, 所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为, 则, 所以 令,则, 所以. 设与所成的角为,则. 因为二面角的大小为,所以,即, 解得,即的长为1 （2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论【答案】（）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体中，点在棱上，且a1b1ecbd1c1ad（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长【答案】a1b1ecbd1c1ad证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，因为，所以 所以面 4分（）a1b1cbd1c1adxyez如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系依题意可知， ，设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面设点，则，易知设平面的一个法向量为，则，即7分令得，所以因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1,在直角梯形中,. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. (i) 求证:平面平面;(ii)求直线与平面所成角的正弦值;(iii)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是12图2是一个有.层的六边形点阵它的中心是一个点，算作 第一层第2层每边有2个点第3层每边有3个点，第层 每边有个点，则这个点阵的点数共有个13已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则该展开式中的系数为(二) 选做题 (1415题考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的参数方程为 (参数)， 圆的参数方程为 (参数)，则直线被圆所截得的弦长为15(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆的两条弦和相交于点，为的中点， ，则弦的长度为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分) 已知， (1) 求值；(2) 求的值17(本小题满分12分) 如图4，在直角梯形中，把沿对角线折起后如图5所示 (点记为点)点在平面上的正投影落在线段上，连接 (1) 求直线与平面所成的角的大小；(2) 求二面角的大小的余弦值【答案】解:(i)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面,所以 因为在直角梯形中, , 所以,所以是等边三角形, 所以是中点, 所以 同理可证 又 所以平面 (ii)在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则, 因为, 设平面的法向量为 因为, 所以有,即, 令则 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 (iii)存在,事实上记点为即可 因为在直角三角形中, 在直角三角形中,点 所以点到四个点的距离相等 （北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分分)已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,且,为中点.()证明:/平面;()证明:平面平面;()求二面角的正弦值【答案】(本小题满分分) 解: () 证明:连结bd交ac于点o,连结eo o为bd中点,e为pd中点, eo/pb eo平面aec,pb平面aec, pb/平面aec. ()证明: pa平面abcd. 平面abcd, 又在正方形abcd中且, cd平面pad 又平面pcd, 平面平面 ()如图,以a为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空 间直角坐标系 由pa=ab=2可知a、b、c、d、p、e的坐标分别为 a(0, 0, 0), b(2, 0, 0),c(2, 2, 0), d(0, 2, 0), p(0, 0, 2), e(0, 1, 1) pa平面abcd,是平面abcd的法向量,=(0, 0, 2). 设平面aec的法向量为, , 则 即 令,则 , 二面角的正弦值为 （北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱中，是中点.（i）求证：平面；（ii）若棱上存在一点，满足，求的长；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(i) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以 2分又平面，平面所以平面 4分（）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以 ，解得，所以 8分（）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取， 10分因为平面,取平面的法向量为 11分所以 13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为 14分（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又,且,点分别为的中点.(i) 求证:() 求二面角值.【答案】(i)因为在正三角形中,为中点, 所以 又平面平面,且平面平面, 所以平面,所以 在中, 所以,所以, 即,又 所以平面,所以 ()以为坐标原点,所在直线为坐标轴建立坐标系, 则, 由(i)得平面的法向量为 设平面的法向量为 因为 所以解得,取 所以, 所以二面角的值为. （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1),等腰直角三角形abc的底边ab=4,点d在线段ac上,于e,现将ade沿de折起到pde的位置(如图(2). ()求证:pbde;()若pebe,直线pd与平面pbc所成的角为30,求pe长. 图(1) 图(2)【答案】xyz 解: (),depe, , de平面peb, , bp de; ()pebe, pede,所以,可由de,be,pe所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图), 设pe=,则b(0,4- ,0),d(,0,0),c(2,2-,0),p(0,0, ), , 设面pbc的法向量, 令, , , bc与平面pcd所成角为30, , 解得:=,或=4(舍),所以,pe的长为 （2013北京东城高三二模数学理科）如图,是等边三角形, ,将沿折叠到的位置,使得.()求证:; ()若,分别是,的中点,求二面角的余弦值. 【答案】(共14分) ()证明:因为 所以, 又因为,且, 所以 平面, 因为平面, 所以 . ()因为是等边三角形, , 不防设,则 , 又因为,分别为,的中点, 由此以为原点,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. 则有,. 所以,. 设平面的法向量为. 则即令,则.所以. 又平面的一个法向量为. 所以 . 所以二面角的余弦值为 （2011年高考（北京理）如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd是菱形,ab=2,abcdp()求证:()若,求与所成角的余弦值;()当平面pbc与平面pdc垂直时,求pa的长.【答案】【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线线垂直、线面垂直的转化,会利用空间直角坐标计算空间角和空间距离. 【解析】因为四边形abcd是菱形,所以, 又因为pa平面abcd,所以, 所以平面 ()设.因为, pa=ab=2,所以bo=1,ao=co=. 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则,所以. 设与所成的角为,则 ()由()知.设,则. 设平面的法向量,则, 所以 令,则,所以 同理,平面pdc的法向量, 因为平面平面,所以,即,解得. 所以 （2013届北京市高考压轴卷理科数学）如图所示,在棱锥中, 平面,底面为直角梯形,且/,()求证:()求与平面所成角的正弦值.【答案】()在直角梯形abcd中,ac=, 取ab中点e,连接ce, 则四边形aecd为正方形, ae=ce=2,又be=, 则为等腰直角三角形, , 又平面abcd,平面, ,由得平面pac, 平面pac,所以 ()以a为坐标原点,ad,ab,ap分别为轴, 建立如图所示的坐标系.则,b(0,4,0), c(2,2,0), 由()知即为平面pac的一个法向量, , 即pb与平面pac所成角的正弦值为 （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.() 求证: /平面;() 求证:面平面; () 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由.【答案】()证明:连结,为正方形,为中点, 为中点.在中,/ 且平面,平面 ()证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,平面 所以