北京市高三数学一轮复习 试题选编28 导数 理 新人教A版.doc

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数一、选择题 （北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 a. b. c. d. 【答案】b （北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线在处的切线方程为( )a.b.c.d.【答案】d （北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数是定义域为的可导函数,且对任意实数都有成立.若当时,不等式成立,设,则,的大小关系是( )a. b. c. d.【答案】a （2013北京东城高三二模数学理科）已知函数是定义在上的奇函数,且当时,(其中是的导函数),若,则,的大小关系是( )a.b.c.d.【答案】 c （北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）已知函数,则,的大小关系为a. b.c. d.【答案】 a 二、填空题 （北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为_【答案】【解析】,表示点与点连线的斜率,因为,所以,即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1,即在内恒成立.由定义域可知,所以,即,所以成立.设,则,当时,函数的最大值为15,所以,即的取值范围为. （北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）若曲线的某一切线与直线平行,则切点坐标为_,切线方程为_.【答案】,【解析】函数的导数为,已知直线的斜率,由,解得切点的横坐标,所以,即切点坐标为,切线方程为,即. （2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为_.【答案】 6 （北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数既存在极大值又存在极小值,则实数的取值范围是_【答案】或【解析】函数的导数为,要使函数既存在极大值又存在极小值,则有两个不同的根,所以判别式,即,所以,解得或. （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线在处的切线方程是_,在x=x0处的切线与直线和y轴围成三角形的面积为_.【答案】 3x+y-4=0, 2; （2009高考(北京理)）设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_.【答案】【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.取,如图,采用数形结合法,易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.三、解答题（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区 间上的最大值.【答案】解答 （1） 2分在上存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即 解得当时，在上存在单调递增区间 6分（2）令 ；在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 8分所以的最大值为， 10分解得 13分（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）设函数.(i)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;(ii)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(iii)当时,求函数在区间上的最大值.【答案】解:(i). 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且, 即,且, 解得 (ii)记,当时, , , 令,得. 当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为, 故在区间内单调递增,在区间内单调递减, 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 解得, 所以的取值范围是 (iii)记,当时, . 由(ii)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为. 当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为; 当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为; 当且,即时,t+30,即， 4分当时,g(x)5，所以函数f(x)在区间上的最大值是.14分（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数（）.（）若函数的图象在点p（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；（）若存在，使，求a的取值范围【答案】解：（i） . 1分 根据题意， 3分 此时，,则. 令 -+. 6分 当时，最小值为. 7分 （ii）若上单调递减.又.10分 若从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减. 根据题意， . 13分 综上，的取值范围是.（2013届北京丰台区一模理科）已知函数，.()若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；()当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间-2，-1上的最小值。【答案】解：()函数h(x)定义域为x|x-a，1分则， 3分h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或6分 ()记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x-a),ab=8，所以，(x-a),令，得，或, 8分因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间为, 10分,， 当，即时, (x)在-2,-1单调递增, (x)在该区间的最小值为， 11分 当时,即, (x)在-2,单调递减, 在单调递增，(x)在该区间的最小值为，12分 当时,即时, (x)在-2,-1单调递减, (x)在该区间的最小值为，13分综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分）（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知函数.()若在处取得极大值,求实数的值;()若,直线都不是曲线的切线,求的取值范围;()若,求在区间上的最大值.【答案】解:()因为 令,得, 所以,随的变化情况如下表: 00极大值极小值 所以 (ii)因为 因为,直线都不是曲线的切线 所以对成立 只要的最小值大于 所以 (iii) 因为所以 当时,对成立 所以当时,取得最大值 当时, 在时,单调递增 在时,单调递减 所以当时,取得最大值 当时, 在时,单调递减 所以当时,取得最大值 当时,在时,单调递减 在时,单调递增 又, 当时,在取得最大值 当时,在取得最大值 当时,在,处都取得最大值 综上所述, 当或时,取得最大值 当时,取得最大值 当时,在,处都取得最大值 当时,在取得最大值. （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分)已知函数()若求在处的切线方程;()求在区间上的最小值;(iii)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【答案】解:(i) 在处的切线方程为 ()由 由及定义域为,令 若在上,在上单调递增, 因此,在区间的最小值为. 若在上,单调递减;在上,单调递增,因此在区间上的最小值为 若在上,在上单调递减, 因此,在区间上的最小值为. 综上,当时,;当时,; 当时, (iii) 由(ii)可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当时,要使在区间上恰有两个零点,则 即,此时,. 所以,的取值范围为 （北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）已知函数f(x)=ax-1-1n x,ar.(i)讨论函数f(x)的单调区间:(ii)若函数f(x)在x=l处取得极值,对x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求实数b的取值范围.【答案】 （2013北京东城高三二模数学理科）已知函数.()求的单调区间;()如果是曲线上的任意一点,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;()讨论关于的方程的实根情况. 【答案】(共14分)解:() ,定义域为, 则. 因为,由得, 由得, 所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为. ()由题意,以为切点的切线的斜率满足 , 所以对恒成立. 又当时, , 所以的最小值为. ()由题意,方程化简得 + 令,则. 当时, ,当时, , 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减. 所以在处取得极大值即最大值,最大值为. 所以 当,即时, 的图象与轴恰有两个交点, 方程有两个实根, 当时, 的图象与轴恰有一个交点, 方程有一个实根, 当时, 的图象与轴无交点, 方程无实根 （2013北京西城高三二模数学理科）已知函数,其中.()若,求曲线在点处的切线方程;()求在区间上的最大值和最小值.【答案】()解:的定义域为, 且 当时, 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 ()解:方程的判别式为. ()当时,所以在区间上单调递增,所以在区间 上的最小值是;最大值是 ()当时,令,得 ,或. 和的情况如下: 故的单调增区间为,;单调减区间为. 当时,此时在区间上单调递增,所以在区间 上的最小值是;最大值是 当时,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以在区间上的最小值是 因为 , 所以 当时,在区间上的最大值是;当时,在区间上的最大值是 当时,此时在区间上单调递减, 所以在区间上的最小值是;最大值是 综上, 当时,在区间上的最小值是,最大值是; 当时,在区间上的最小值是,最大值是; 当时,在区间上的最小值是,最大值是; 当时,在区间上的最小值是,最大值是. （2013届北京海滨一模理科）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (i) 当时，求的单调区间；(ii) 若在上的最大值为，求的值.【答案】解：（i）因为所以2分因为函数在处取得极值3分当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值5分所以的单调递增区间为, 单调递减区间为6分(ii)因为令,7分因为在 处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得11分当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 13分（2011年高考（北京理）已知函数()求的单调区间;()若对任意的,都有,求的取值范围.【答案】【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性问题以及利用函数的单调性与最值解答不等式恒成立问题.学会分类讨论,综合解答函数、不等式问题. 【解析】(),令,得 当时,与的情况如下:+0-0+0所以,的单调递增区间是和;单调递减区间是 当时,与的情况如下:-0+0-0所以,的单调递减区间是和;单调递增区间是 ()当时,因为,所以不会有,. 当时,由()知在上的最大值是 所以,等价于,解得 所以当,时,的取值范围 （北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）(本小题满分13分)已知函数 . （）若函数在处取得极值，求的值； （）当时，讨论函数的单调性.【答案】（） 1分 依题意有， 3分 解得， 5分经检验， 符合题意， 所以，() 当时， 当时， 解， 得当时，；当时，所以减区间为，增区间为. 7分当时，解， 得， 9分当时，当或时，；当时，所以增区间为，减区间为. 11分当时，当或时，；当时，所以增区间为，减区间为,. 13分综上所述：当时, 减区间为，增区间为； 当时, 增区间为，减区间为； 当时, 增区间为，减区间为，.（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数(),.()求函数的单调区间;()当时,若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(本小题满分1 ) 解:()函数的定义域为, 当时,当变化时,的变化情况如下表: 所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是, 当时,当变化时,的变化情况如下表: 所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是. ()依题意,“当时,对于任意,恒成立”等价于 “当 时,对于任意, 成立”. 当时,由()知,函数在上单调递增,在上单调递减, 因为,所以函数的最小值为. 所以应满足 因为,所以 当时,函数, 显然不满足,故不成立 当时,令得,. ()当,即时,在上,所以函数在上单调递增, 所以函数. 由得,所以 ()当,即时, 在上,在上, 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 所以. 由得,所以 ()当,即时,显然在上, 函数在上单调递增,且. 显然不成立,故不成立 综上所述,的取值范围是 （北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）已知函数在处有极值. ()求函数的单调区间;()若直线与函数有交点,求实数的取值范围. 【答案】解:()因为, 所以 由,可得 经检验时,函数在处取得极值, , 而函数的定义域为, 当变化时,的变化情况如下表:极小值由表可知,的单调减区间为,的单调增区间为 ()若,则有,其中, 所以有大于的根, 显然,设 则其对称轴为,根据二次函数的性质知道, 只要 解得或 . （2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知函数在点处的切线方程为.(i)求,的值;(ii)对函数定义域内的任一个实数,恒成立,求实数的取值范围.【答案】解:()由 而点在直线上,又直线的斜率为 故有 ()由()得 由及 令 令,故在区间上是减函数,故当时,当时, 从而当时,当时, 在是增函数,在是减函数,故 要使成立,只需 故的取值范围是. （2012北京理）18.已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.【答案】解:(1)由为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:.(2),设则,令,解得:,;,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增若,即时,最大值为;若,即时,最大值为若时,即时,最大值为.综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数 ()若，求函数在（1，）处的切线方程；()讨论函数的单调区间【答案】解：（1）当时， ， 切线方程为 4分(2) 定义域令，解得，当，恒成立，则是函数的单调递增区间当时， 在区间（0,1）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0,1）和（），单调递减区间是（）当时，在区间（0, ）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0, ）和（），单调递减区间是（）当时，在区间（0,1）上，在区间（）上，故的单调递增区间是（），单调递减区间是（0,1）。 13分（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知函数 .()当时,求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;()若0,讨论的单调性.【答案】解:()的定义域为, 当时, 令在1,e上得极值点x20增减 (), 当时,由0得0x,所以f(x)的单调增区间是(0,2), 由0得2x0得0x2,所以f(x)的单调增区间是(0,), 由0得x2,所以f(x)的单调减区间是(,2) （2010年高考（北京理）已知函数()=in(1+)-+(0).()当=2时,求曲线=()在点(1,(1)处的切线方程;()求()的单调区间.【答案】解:(i)当时, 由于, 所以曲线在点处的切线方程为 即 (ii),. 当时,. 所以,在区间上,;在区间上,. 故得单调递增区间是,单调递减区间是. 当时,由,得, 所以,在区间和上,;在区间上, 故得单调递增区间是和,单调递减区间是. 当时, 故得单调递增区间是. 当时,得,. 所以没在区间和上,;在区间上, 故得单调递增区间是和,单调递减区间是 （2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知函数,其中为正实数,.(i)若是的一个极值点,求的值;(ii)求的单调区间.【答案】解:. (i)因为是函数的一个极值点, 所以,因此,解得. 经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为 (ii) 令得 (i)当,即时,方程两根为 . 此时与的变化情况如下表:00极大值极小值所以当时,的单调递增区间为,; 的单调递减区间为. (ii)当时,即时, 即,此时在上单调递增. 所以当时,的单调递增区间为 （北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数（i） 当时,求曲线在处的切线方程；（）求函数的单调区间.【答案】解：当时， 2分又，所以在处的切线方程为 4分（ii）当时，又函数的定义域为 所以 的单调递减区间为 6分当 时，令，即，解得 7分当时，所以，随的变化情况如下表无定义0极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为 10分当时，所以，随的变化情况如下表：0无定义极大值所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 13分（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围【答案】解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 13分（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数,其中.()求函数的单调区间;()若直线是曲线的切线,求实数的值;()设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)【答案】解:() 令,则,又的定义域是(0,2)2(2,)0设切点为则 解得 令,则, ()当时,在单调增加 ()当时,在单调减少,在单调增加; 若时,; 若时,; ()当时,在上单调递减,; 综上所述,时,; 时,. （北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数().(1)若,试确定函数的单调区间;(2)若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于,求实数的取值范围.(3)若,求的取值范围.【答案】()解:当时,所以, 由,解得, 由,解得或, 所以函数的单调增区间为,减区间为和. ()解:因为, 由题意得:对任意恒成立, 即对任意恒成立, 设,所以, 所以当时,有最大值为, 因为对任意,恒成立, 所以,解得或, 所以,实数的取值范围为或. (iii). （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知函数,其中.()求函数的单调区间;()若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】(本小题满分1 ) 解:函数定义域为, 且 当,即时,令,得,函数的单调递减区间为, 令,得,函数的单调递增区间为. 当,即时,令,得或, 函数的单调递增区间为,. 令,得,函数的单调递减区间为. 当,即时,恒成立,函数的单调递增区间为 ()当时,由()可知,函数的单调递减区间为,在单调递增. 所以在上的最小值为, 由于, 要使在上有且只有一个零点, 需满足或解得或. 当时,由()可知, ()当时,函数在上单调递增; 且,所以在上有且只有一个零点. ()当时,函数在上单调递减,在上单调递增; 又因为,所以当时,总有. 因为, 所以. 所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增, 从而当时,在上有且只有一个零点. 综上所述,或或时,在上有且只有一个零点 （北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数（）若函数在处有极值为10，求b的值；（）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值【答案】解：（）， 1分于是，根据题设有 解得 或 3分当时，所以函数有极值点； 4分当时，所以函数无极值点5分所以6分（）法一：对任意，都成立，7分所以 对任意，都成立8分因为 ,所以 在上为单调递增函数或为常数函数， 9分所以 对任意都成立 10分即 . 11分又，所以当时，12分所以，所以的最小值为 13分法二：对任意，都成立， 7分即对任意，都成立，即 8分令，9分当时，于是；10分当时，于是， 11分又 ，所以 12分综上，的最小值为 13分（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,记的面积为.(i)当时,求函数的单调区间;(ii)当时, 若,使得, 求实数的取值范围.【答案】解: (i) 因为,其中 当,其中 当时, 所以,所以在上递增, 当时, 令, 解得,所以在上递增 令, 解得,所以在上递减 综上,的单调递增区间为, 的单调递减区间为 (ii)因为,其中 当,时, 因为,使得,所以在上的最大值一定大于等于 ,令,得 当时,即时 对成立,单调递增 所以当时,取得最大值 令 ,解得 , 所以 当时,即时 对成立,单调递增 对成立,单调递减 所以当时,取得最大值 令 ,解得 所以 综上所述, （2009高考(北京理)）设函数()求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间;()若函数在区间内单调递增,求的取值范围.【答案】【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(),曲线在点处的切线方程为.()由,得,若,则当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,若,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,()由()知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数 (为自然对数的底数)(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围(3)已知,且,是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列,使得?若存在,请求出数列的通项公式.若不存在,请说明理由.【答案】解: (1) 由当;当 (2), 有解 由即上有解 令, 上减,在1,2上增 又,且 (3)设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列,使 又时, 故 -2得,解得(舍) 故 ,此时 满足 存在满足条件的数列 （北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知函数（）.（）求函数的单调区间;(）函数的图像在处的切线的斜