针对高中数学函数值域求解的方法研究2.doc

针对高中数学函数值域求解的方法研究江苏省如皋市搬经中学 洪素琴摘要：函数知识是非常重要的知识点，同时也是教学的重难点，而函数的值域作为函数课堂授课任务的重要组成部分，对于提升学生对函数概念和性质的掌握水平具有非常重要的现实意义。本文中笔者结合自身教学工作实际，针对函数求值域的几种方法做了简要分析，以期能够在以后的教学中，帮助学生更好的理解函数、掌握函数。关键词：数学 函数; 值域求解 办法函数这一块高中数学教学中的重难点，历来都是让老师头疼学生头晕的知识，如何能够针对这块知识点寻求更好的解决办法，是每个高中数学老师思考的问题。本文中笔者结合自身多年教学经验，就函数值域的求解方法进行总结，希望能够在以后的教学中，抛砖引玉，为大家提供些许帮助。笔者相信，只要通过日常教学过程中，对这类问题进行细致的梳理和总结，那么帮助学生掌握相关知识的时候，将会更为熟练。1利用常见函数的值域求例: y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y12利用配方法求值域配方法主要应用于二次函数或者二次函数的复合形态类题目。例：设（aR），如果x(-,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。解：由题知，当x(-,1)时，要使函数f(x)有意义，需满足不等式：，即12x+a4x0恒成立，分离常数得由于 ，因而。故a的取值范围是。3利用分离常数法求值域。分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例4：求函数的值域。解：，函数的值域为4反函数法求值域当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。求函数的值域。解：由解得， ， 函数的值域为5均值定理法求值域 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用均值定理法求函数的值域。例3若函数 的定义域是(0,+)，求值域。解： , ,则当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是 。6换元法求值域通过对原函数中的某些量加以变化，形成“换元”，使得函数转化为用新变量表示变量的函数式，从而求出值域。例6已知函数f(x)的值域是。求 的值域。解：， 。故 ，令 ，则，有 ，由于y=g(t)在时单调递增， 当时， ; 当时， 。 的值域是 。7利用数形结合法求值域通过函数图象，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。例9 已知：实数x,yR，满足(x-2)2+y2=3,求的最值。解: 如图，因为，可看作是动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，而动点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=3上，于是依数形结合法，可得 的最大值为，最小值为 。8利用单调法求值域函数单调性作为函数的重要特点之一，在求值域过程中，应该谨慎使用。例8求函数的值域。解：函数的定义域为，函数y=x和函数 在 上均为单调递增函数。故。因此，函数 的值域是。9利用最值法求值域 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域，这种方法在使用过程中，重点在于最值的求取。 例：已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2), z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。 函数z的值域为z5z15/4参考文献【1】高巧玲, 王观奇. 中学数学教学新探讨J. 山西教育(教学), 2011, (05)【2】齐玉霞, 代恩华. 关于反函数及复合函数求导法则的证明J. 高等函授学报(自然科学版), 201