北京市东城区（南片）高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年北京市 东城区（南片）高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1在复平面内，复数对应的点位于（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限2c+c+c+c+c的值为（）a 64b 63c 62d 613反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）与已知矛盾；与假设矛盾；与定义、定理、公理、法则矛盾；与事实矛盾a b c d 4下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）y=cosx（xr）是三角函数；三角函数是周期函数；y=cosx（xr）是周期函数a b c d 5袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）a b c d 6某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）a b c d 7两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）a b c d 8从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）a 70种b 80种c 100种d 140种9观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）a 76b 80c 86d 9210已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中ar，是纯虚数，则实数a的取值为（）a lb 1c 2d 211已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（）a （，1）b （1，0）c （0，1）d （0，+）12已知随机变量x服从正态分布n（1，2），且p（2x1）=0.4，则p（x4）=（）a 0.1b 0.2c 0.3d 0.613若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）a 2b c d 114某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a 63.6万元b 65.5万元c 67.7万元d 72.0万元15在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）a 4b 10c 20d 4016要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）a 48种b 36种c 18种d 12种17由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）a 4b 2c 2ln2d ln218用数学归纳法证明1+（nn且n1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）a 2k+1b 2k1c 2kd 2k119设函数f（x）=x3+x，若0时，f（mcos）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）a （，1）b （，1）c （1，+）d （1，+）20已知f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则af（a），bf（b）的大小关系为（）a af（a）bf（b）b af（a）=bf（b）c af（a）bf（b）d af（a）bf（b）二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21已知复数z=1+i（i）若复数=z2+34，则复数的模长|=；（）如果=1i，求实数a，b的值22某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5（）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（）求y关于x的线性回归方程=x+；（）试预测加工10个零件需要的时间参考公式：232014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记x为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求x的分布列和数学期望24已知a0，b0，c0，且a+b+c=1（）若a=b=c，则（1）（1）（1）的值为；（）求证：（1）（1）（1）825若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求f（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由2014-2015学年北京市东城区（南片）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1在复平面内，复数对应的点位于（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限考点：复数代数形式的混合运算分析：复数分母实数化，再化简即可解答：解：=故选d点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题2c+c+c+c+c的值为（）a 64b 63c 62d 61考点：组合及组合数公式专题：排列组合分析：利用组合数公式进行求解即可解答：解：c+c+c+c+c+c+c=26，c+c+c+c+c=26cc=6411=62，故选：c点评：本题主要考查组合数公式的应用，比较基础3反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）与已知矛盾；与假设矛盾；与定义、定理、公理、法则矛盾；与事实矛盾a b c d 考点：反证法与放缩法专题：证明题；推理和证明分析：直接利用反证法的定义判断正误即可解答：解：利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法与已知条件矛盾；正确与假设矛盾；正确与定义、定理、公理、法则矛盾；正确与事实矛盾正确故选：d点评：本题考查反证法定义的连结与应用，基础题4下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）y=cosx（xr）是三角函数；三角函数是周期函数；y=cosx（xr）是周期函数a b c d 考点：演绎推理的基本方法专题：规律型；推理和证明分析：根据三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的次序解答：解：根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：y=cosx（xr ）是三角函数是“小前提”；三角函数是周期函数是“大前提”；y=cosx（xr ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为故选b点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论5袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）a b c d 考点：等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：概率与统计分析：首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案解答：解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有c62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有23=6种；则两球颜色为一白一黑的概率p=；故选b点评：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式6某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）a b c d 考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率专题：计算题分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即xb（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果解答：解：每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即xb（3，）p（x=2）=故选b点评：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数7两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）a b c d 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式专题：计算题分析：根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案解答：解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为a，即仅第一个实习生加工一等品（a1）与仅第二个实习生加工一等品（a2）两种情况，则p（a）=p（a1）+p（a2）=，故选b点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）8从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）a 70种b 80种c 100种d 140种考点：分步乘法计数原理分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答解答：解：直接法：一男两女，有c51c42=56=30种，两男一女，有c52c41=104=40种，共计70种间接法：任意选取c93=84种，其中都是男医生有c53=10种，都是女医生有c41=4种，于是符合条件的有84104=70种故选a点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法9观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）a 76b 80c 86d 92考点：归纳推理专题：阅读型分析：观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果解答：解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选b点评：本题考查归纳推理，分寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理10已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中ar，是纯虚数，则实数a的取值为（）a lb 1c 2d 2考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：把复数z1=a+i，z2=1+i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再由纯虚数的条件列出方程组，解方程组则答案可求解答：解：由复数z1=a+i，z2=1+i，得=，是纯虚数，解得：a=1故选：a点评：本题考查了，考查了复数的基本概念，是基础题11已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（）a （，1）b （1，0）c （0，1）d （0，+）考点：函数在某点取得极值的条件专题：计算题分析：讨论a的正负，以及a与1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求解答：解：当a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；当1a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；当a=1时，f（x）0，函数f（x）无极值，不符合题意；当a1时，当xa时，f（x）0，当ax1时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述1a0，故选b点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题12已知随机变量x服从正态分布n（1，2），且p（2x1）=0.4，则p（x4）=（）a 0.1b 0.2c 0.3d 0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果解答：解：随机变量服从正态分布n（1，2），曲线关于x=1对称，p（x4）=p（x2）=1p（2x1）=0.1故选：a点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题13若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）a 2b c d 1考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中项的系数，再根据项的系数为84，求得a的值解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式tr+1=27rarx72r，令72r=3，求得r=5，可得展开式中项的系数是4a5=84，求得a=1，故选：d点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题14某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a 63.6万元b 65.5万元c 67.7万元d 72.0万元考点：线性回归方程专题：概率与统计分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果解答：解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：b点评：本题考查线性回归方程考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现15在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）a 4b 10c 20d 40考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：由条件利用二项展开式的通项公式求得含x3y0的系数，即f（3，0）的值解答：解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：f（3，0）=20，故选：c点评：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查计算能力，属于基础题16要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）a 48种b 36种c 18种d 12种考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，若小张或小赵入选，若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案解答：解：根据题意分2种情况讨论，若小张或小赵入选，则有选法c21c21a33=24；若小张、小赵都入选，则有选法a22a32=12，共有选法12+24=36种，故选：b点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏17由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）a 4b 2c 2ln2d ln2考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的综合应用分析：首先利用定积分表示面积，然后计算即可解答：解：由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；故选d点评：本题考查了运用定积分求瞿塘峡的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后正确计算18用数学归纳法证明1+（nn且n1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）a 2k+1b 2k1c 2kd 2k1考点：数学归纳法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系解答：解：当n=k时，左端=1+，那么当n=k+1时 左端=1+=1+，左端增加的项为+，所以项数为：2k故选：c点评：本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项19设函数f（x）=x3+x，若0时，f（mcos）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）a （，1）b （，1）c （1，+）d （1，+）考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：利用函数f（x）=x3+x是奇函数又是0，上的增函数，把不等式转化求解解答：解：函数f（x）=x3+x是奇函数又是（0，上的增函数，f（mcos）+f（1m）0恒成立，等价于f（mcos）f（1m）即f（mcos）f（m1）即mcosm1m，又0时，0cos1，即有1，m1故选：a点评：考查函数的奇偶性单调性的综合运用以及三角函数的单调性的运用能力，属中档题20已知f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则af（a），bf（b）的大小关系为（）a af（a）bf（b）b af（a）=bf（b）c af（a）bf（b）d af（a）bf（b）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：令g（x）=，x（0，+），利用导数研究其单调性，再利用不等式的性质即可得出解答：解：令g（x）=，x（0，+），xf（x）f（x）0，则g（x）=0，函数g（x）在x（0，+）单调递增，ab，bf（a）af（b），af（a）bf（a）af（b）bf（b）故选：a点评：本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21已知复数z=1+i（i）若复数=z2+34，则复数的模长|=；（）如果=1i，求实数a，b的值考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模专题：数系的扩充和复数分析：（i）由复数z求出，然后代入复数=z2+34化简求值则复数的模长可求；（）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案解答：解：（）复数z=1+i，=z2+34=（1+i）2+3（1i）4=1i则复数的模长|=故答案为：；（）由复数z=1+i得=a+2（a+b）i，由题设条件知a+2（a+b）i=1i，根据复数相等的定义，得，解得：点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题22某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5（）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（）求y关于x的线性回归方程=x+；（）试预测加工10个零件需要的时间参考公式：考点：线性回归方程专题：概率与统计分析：（）利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；（）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间解答：解：（）散点图如图所示：（3分）（）由题中表格数据得=3.5，=3.5，=3.5，=5=0.7，=1.05，线性回归方程为=0.7x+1.05（）当x=10时，=0.7x+1.05=8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时（8分）点评：本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力232014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记x为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（）直接由频率分布直方图得到此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（）120人中地铁票价为3元、4元、5元，x的所有可能取值为6，7，8，9，10由频率分布直方图得到地铁票价为3元、4元、5元的频率，以频率作为概率求得p（x=6），p（x=7），p（x=8），p（x=9），p（x=10），列出频率分布表，代入期望公式求得期望解答：解：（）由频率分布直方图可得，此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为故答案为：；（）x的所有可能取值为6，7，8，9，10根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，即，以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，p（x=6）=，p（x=7）=，p（x=8）=，p（x=9）=，p（x=10）=随机变量x的分布列为：x678910p=点评：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，关键是对题意的理解，是中档题24已知a0，b0，c0，且a+b+c=1（）若a=b=c，则（1）（1）（1）的值为8；（）求证：（1）（1）（1）8考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：（）由题意可得a=b=c=，代