第1-7章习题.doc

一. 简述下列概念：数据、数据元素、数据类型、数据结构、逻辑结构、存储结构、线性结构、非线性结构。解答： 数据：指能够被计算机识别、存储和加工处理的信息载体。 数据元素：就是数据的基本单位，在某些情况下，数据元素也称为元素、结点、顶点、记录。数据元素有时可以由若干数据项组成。 数据类型：是一个值的集合以及在这些值上定义的一组操作的总称。通常数据类型可以看作是程序设计语言中已实现的数据结构。 数据结构：指的是数据之间的相互关系，即数据的组织形式。一般包括三个方面的内容:数据的逻辑结构、存储结构和数据的运算。 逻辑结构：指数据元素之间的逻辑关系。 存储结构：数据元素及其关系在计算机存储器内的表示，称为数据的存储结构。 线性结构：数据逻辑结构中的一类。它的特征是若结构为非空集，则该结构有且只有一个开始结点和一个终端结点，并且所有结点都有且只有一个直接前趋和一个直接后继。线性表就是一个典型的线性结构。栈、队列、串等都是线性结构。 非线性结构：数据逻辑结构中的另一大类，它的逻辑特征是一个结点可能有多个直接前趋和直接后继。数组、广义表、树和图等数据结构都是非线性结构。2-4 顺序表的插入和删除要求仍然保持各个元素原来的次序。设在等概率情形下, 对有127个元素的顺序表进行插入, 平均需要移动多少个元素? 删除一个元素, 又平均需要移动多少个元素?【解答】若设顺序表中已有n = last+1个元素，last是顺序表的数据成员，表明最后表项的位置。又设插入或删除表中各个元素的概率相等，则在插入时因有n+1个插入位置(可以在表中最后一个表项后面追加)，每个元素位置插入的概率为1/(n+1)，但在删除时只能在已有n个表项范围内删除，所以每个元素位置删除的概率为1/n。插入时平均移动元素个数AMN(Averagy Moving Number )为127/2删除时平均移动元素个数AMN为126/2 2-6线性表可用顺序表或链表存储。试问：(1) 两种存储表示各有哪些主要优缺点?(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用哪种存储表示？为什么？(3) 若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时，应采用哪种存储表示？为什么？【解答】(1) 顺序存储表示是将数据元素存放于一个连续的存储空间中，实现顺序存取或(按下标)直接存取。它的存储效率高，存取速度快。但它的空间大小一经定义，在程序整个运行期间不会发生改变，因此，不易扩充。同时，由于在插入或删除时，为保持原有次序，平均需要移动一半(或近一半)元素，修改效率不高。链接存储表示的存储空间一般在程序的运行过程中动态分配和释放，且只要存储器中还有空间，就不会产生存储溢出的问题。同时在插入和删除时不需要保持数据元素原来的物理顺序，只需要保持原来的逻辑顺序，因此不必移动数据，只需修改它们的链接指针，修改效率较高。但存取表中的数据元素时，只能循链顺序访问，因此存取效率不高。(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用链接存储表示。如果采用顺序存储表示，必须在一个连续的可用空间中为这n个表分配空间。初始时因不知道哪个表增长得快，必须平均分配空间。在程序运行过程中，有的表占用的空间增长得快，有的表占用的空间增长得慢；有的表很快就用完了分配给它的空间，有的表才用了少量的空间，在进行元素的插入时就必须成片地移动其他的表的空间，以空出位置进行插入；在元素删除时，为填补空白，也可能移动许多元素。这个处理过程极其繁琐和低效。如果采用链接存储表示，一个表的存储空间可以连续，可以不连续。表的增长通过动态存储分配解决，只要存储器未满，就不会有表溢出的问题；表的收缩可以通过动态存储释放实现，释放的空间还可以在以后动态分配给其他的存储申请要求，非常灵活方便。对于n个表(包括表的总数可能变化)共存的情形，处理十分简便和快捷。所以选用链接存储表示较好。(3) 应采用顺序存储表示。因为顺序存储表示的存取速度快，但修改效率低。若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时采用顺序存储表示较好。5-1 设有一个二维数组Amn，假设A00存放位置在644(10)，A22存放位置在676(10)，每个元素占一个空间，问A33(10)存放在什么位置？脚注(10)表示用10进制表示。【解答】设数组元素Aij存放在起始地址为Loc ( i, j ) 的存储单元中。 Loc ( 2, 2 ) = Loc ( 0, 0 ) + 2 * n + 2 = 644 + 2 * n + 2 = 676. n = ( 676 - 2 - 644 ) / 2 = 15 Loc ( 3, 3 ) = Loc ( 0, 0 ) + 3 * 15 + 3 = 644 + 45 + 3 = 692.5-2 设有一个nn的对称矩阵A，如图(a)所示。为了节约存储，可以只存对角线及对角线以上的元素，或者只存对角线或对角线以下的元素。前者称为上三角矩阵，后者称为下三角矩阵。我们把它们按行存放于一个一维数组B中，如图(b)和图(c)所示。并称之为对称矩阵A的压缩存储方式。试问：(1) 存放对称矩阵A上三角部分或下三角部分的一维数组B有多少元素？(2) 若在一维数组B中从0号位置开始存放，则如图(a)所示的对称矩阵中的任一元素aij在只存上三角部分的情形下(图(b)应存于一维数组的什么下标位置？给出计算公式。(3) 若在一维数组B中从0号位置开始存放，则如图(a)所示的对称矩阵中的任一元素aij在只存下三角部分的情形下(图(c)应存于一维数组的什么下标位置？给出计算公式。【解答】(1) 数组B共有n + ( n-1 ) + + 1= n * ( n+1 ) / 2个元素。(2) 只存上三角部分时，若i j，则数组元素Aij前面有i-1行（1i-1，第0行第0列不算)，第1行有n个元素，第2行有n-1个元素，第i-1行有n-i+2个元素。在第i行中，从对角线算起，第j号元素排在第j-i+1个元素位置（从1开始），因此，数组元素Aij在数组B中的存放位置为n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+2) + j-i+1 = (2n-i+2) * (i-1) / 2 + j-i+1= (2n-i) * (i-1) / 2 + j若i j，数组元素Aij在数组B中没有存放，可以找它的对称元素Aji。在数组B的第 (2n-j) * (j-1) / 2 + i位置中找到。如果第0行第0列也计入，数组B从0号位置开始存放，则数组元素Aij在数组B中的存放位置可以改为当i j时，= (2n-i+1) * i / 2 + j - i = ( 2n - i - 1 ) * i / 2 + j当i j时，= (2n - j - 1) * j / 2 + i (3) 只存下三角部分时，若i j，则数组元素Aij前面有i-1行（1i-1，第0行第0列不算)，第1行有1个元素，第2行有2个元素，第i-1行有i-1个元素。在第i行中，第j号元素排在第j个元素位置，因此，数组元素Aij在数组B中的存放位置为1 + 2 + + (i-1) + j = ( i-1)*i / 2 + j若i j，数组元素Aij在数组B中没有存放，可以找它的对称元素Aji。在数组B的第 (j-1)*j / 2 + i位置中找到。如果第0行第0列也计入，数组B从0号位置开始存放，则数组元素Aij在数组B中的存放位置可以改为当i j时，= i*(i+1) / 2 + j当i 1)的各棵树中，高度最小的树的高度是多少？它有多少个叶结点？多少个分支结点？高度最大的树的高度是多少？它有多少个叶结点？多少个分支结点？ 【解答】结点个数为n时，高度最小的树的高度为1，有2层；它有n-1个叶结点，1个分支结点；高度最大的树的高度为n-1，有n层；它有1个叶结点，n-1个分支结点。6-5 如果一棵树有n1个度为1的结点, 有n2个度为2的结点, , nm个度为m的结点, 试问有多少个度为0的结点? 试推导之。【解答】总结点数 n = n0 + n1 + n2 + + nm总分支数 e = n-1 = n0 + n1 + n2 + + nm-1 = m*nm + (m-1)*nm-1 + + 2*n2 + n1则有 6-6 试分别找出满足以下条件的所有二叉树:(1) 二叉树的前序序列与中序序列相同;(2) 二叉树的中序序列与后序序列相同;(3) 二叉树的前序序列与后序序列相同。【解答】(1) 二叉树的前序序列与中序序列相同：空树或缺左子树的单支树；(2) 二叉树的中序序列与后序序列相同：空树或缺右子树的单支树；(3) 二叉树的前序序列与后序序列相同：空树或只有根结点的二叉树。6-11 请画出右图所示的树所对应的二叉树。1【解答】12254433对应二叉树5766887 6-14 已知一棵二叉树的前序遍历的结果是ABECDFGHIJ, 中序遍历的结果是EBCDAFHIGJ, 试画出这棵二叉树。【解答】当前序序列为ABECDFGHIJ，中序序列为EBCDAFHIGJ时，逐步形成二叉树的过程如下图所示： AAAAFBBFFBGECGECHIGJCDEFHIGJHDJHIJDIEBCD6-16 给定权值集合15, 03, 14, 02, 06, 09, 16, 17, 构造相应的霍夫曼树, 并计算它的带权外部路径长度。【解答】()05171609061415F：17160906021415020303()171609141520161415()17110911060502030605()332029020329161720()16171109151414110915050606050203020382()4933()4933172920161716292014110915110915140605060503020302此树的带权路径长度WPL = 229。6-17 假定用于通信的电文仅由8个字母c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8组成, 各字母在电文中出现的频率分别为5, 25, 3, 6, 10, 11, 36, 4。试为这8个字母设计不等长Huffman编码, 并给出该电文的总码数。【解答】已知字母集 c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8 ，频率 5, 25, 3, 6, 10, 11, 36, 4 ，则Huffman编码为 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 0110 10 0000 0111 001 010 11 0001 电文总码数为 4 * 5 + 2 * 25 + 4 * 3 + 4 * 6 + 3 * 10 + 3 * 11 + 2 * 36 + 4 * 4= 25710100139611001100C217223625C771111101100C6C55634C4C1C8C37-1 画出1个顶点、2个顶点、3个顶点、4个顶点和5个顶点的无向完全图。试证明在n个顶点的无向完全图中，边的条数为n(n-1)/2。【解答】2个顶点的无向完全图1个顶点的无向完全图5个顶点的无向完全图4个顶点的无向完全图3个顶点的无向完全图【证明】在有n个顶点的无向完全图中，每一个顶点都有一条边与其它某一顶点相连，所以每一个顶点有n-1条边与其他n-1个顶点相连，总计n个顶点有n(n-1)条边。但在无向图中，顶点i到顶点j与顶点j到顶点i是同一条边，所以总共有n(n-1)/2条边。7-3 给出右图的邻接矩阵、邻接表和邻接多重表表示。DA【解答】(1) 邻接矩阵EBFC310 A1 B2 C3 D4 E5 F邻接表42（出边表）54140 A1 B2 C3 D4 E5 F（入边表）30105312data fin fout(3) 邻接多重表（十字链表）i j ilink jlink0 1 (A, B)0 A1 B2 C3 D4 E5 F0 3 (A, D)1 2 (B, C)1 4 (B, E)2 5 (C, F)3 1 (D, B)3 4 (D, E)5 4 (F, E)7-4 用邻接矩阵表示图时，矩阵元素的个数与顶点个数是否相关？与边的条数是否相关？【解答】用邻接矩阵表示图，矩阵元素的个数是顶点个数的平方，与边的条数无关。矩阵中非零元素的个数与边的条数有关。7-6对于有n个顶点的无向图，采用邻接矩阵表示，如何判断以下问题： 图中有多少条边？任意两个顶点i和j之间是否有边相连？任意一个顶点的度是多少？【解答】用邻接矩阵表示无向图时，因为是对称矩阵，对矩阵的上三角部分或下三角部分检测一遍，统计其中的非零元素个数，就是图中的边数。如果邻接矩阵中Aij 不为零，说明顶点i与顶点j之间有边相连。此外统计矩阵第i行或第i列的非零元素个数，就可得到顶点i的度数。7-7对于如右图所示的有向图，试写出：(1) 从顶点出发进行深度优先搜索所得到的深度优先生成树；(2) 从顶点出发进行广度优先搜索所得到的广度优先生成树； 【解答】(1) 以顶点为根的深度优先生成树（不唯一）： 或 (2) 以顶点为根的广度优先生成树：7-16 试对右图所示的AOE网络，解答下列问题。(1) 这个工程最早可能在什么时间结束。(2) 求每个事件的最早开始时间Vei和最迟开始时间VlI。(3) 求每个活动的最早开始时间e( )和最迟开始时间