北京市丰台区高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）（2013丰台区一模）复数z=在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：复数z=1+i，复数z=在复平面内对应的点（1，1）位于第一象限故选a点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键2（5分）（2013丰台区一模）设sn为等比数列an的前n项和，2a3+a4=0，则（）a2b3c4d5考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：设公比为q，由2a3+a4=0，可得 2a1q2+a1q3=0，解得q=2由此求得s3的值，从而得到的结果解答：解：sn为等比数列an的前n项和，设公比为q，由2a3+a4=0，可得 2a1q2+a1q3=0，即 q=2，s3=3a1=3，故选 b点评：本题主要等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题3（5分）（2013丰台区一模）执行如图的程序框图，输出k的值是（）a3b4c5d6考点：程序框图专题：计算题分析：由已知可得k1，b0，则a=1，可得，不满足判断框的条件，应继续循环；b1=a，再计算判断是否满足，直到满足此条件即可停止循环，输出k的值解答：解：k1，b0，则a=1，不满足判断框的条件，应继续循环；k2，b1，则，1，不满足判断框的条件，应继续循环；k3，b，则=，则=1，满足判断框的条件，应停止循环故输出的k是3故选a点评：正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键4（5分）（2013丰台区一模）已知变量x，y满足约束条件，则e2x+y的最大值是（）ae3be2c1de4考点：简单线性规划的应用专题：计算题；不等式的解法及应用分析：令z=2x+y，作出可行域，利用线性规划知识可求得z的最大值，进而可得e2x+y的最大值解答：解：作出可行域如下图阴影所示：由得，所以b（1，0），令z=2x+y，则当直线y=2x+z经过点b时该直线在y轴上的截距z最大，zmax=21+0=2，所以e2x+y的最大值是e2故选b点评：本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力5（5分）（2013丰台区一模）已知命题p：x（0，+），3x2x，命题q：x（，0），3x2x，则下列命题为真命题的是（）apqbp（q）c（p）qd（p）（q）考点：复合命题的真假专题：计算题分析：由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案解答：解：由题意可知命题p：x（0，+），3x2x，为真命题；而命题q：x（，0），3x2x，为假命题，即q为真命题，由复合命题的真假可知p（q）为真命题，故选b点评：本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题6（5分）（2013丰台区一模）已知az，关于x的一元二次不等式x26x+a0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）a13b18c21d26考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：设f（x）=x26x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式x26x+a0的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的a的值之和解答：解：设f（x）=x26x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示若关于x的一元二次不等式x26x+a0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5a8，又az，a=6，7，8则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21故选c点评：本题主要考查一元二次不等式，以及根的存在性及根的个数判断问题，同时考查了转化的思想，属于中档题7（5分）（2013丰台区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）ay=f（x）是区间（0，+）上的减函数，且x+y4by=f（x）是区间（1，+）上的增函数，且x+y4cy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4dy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4考点：函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+）上的增减性，二者结合可得正确答案解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y4再由x+y=xy得：（x1）设x1x21，则=因为x1x21，所以x2x10，x210则，即f（x1）f（x2）所以y=f（x）是区间（1，+）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4故选c点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题8（5分）（2013丰台区一模）动圆c经过点f（1，0），并且与直线x=1相切，若动圆c与直线总有公共点，则圆c的面积（）a有最大值8b有最小值2c有最小值3d有最小值4考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式专题：直线与圆分析：由题意可得动圆圆心c（a，b）的方程为y2=4x即b2=4a由于动圆c与直线总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心c到此直线的距离dr=|a+1|=a+1据此可得出b或a满足的条件，进而得出圆c的面积的最小值解答：解：由题意可得：动圆圆心c（a，b）的方程为y2=4x即b2=4a动圆c与直线总有公共点，圆心c到此直线的距离dr=|a+1|=a+1a+1，又，上式化为，化为解得b2或当b=2时，a取得最小值1，此时圆c由最小面积（1+1）2=4故选d点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力二、填空题9（5分）（2013丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知直线c：（t是参数）被圆c：（是参数）截得的弦长为考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：由题意将圆c和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆c相交所得的弦长解答：解：在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：（为参数），x2+y2=1，圆心为（0，0），半径为1，直线l：（t是参数），x+y1=0，圆心到直线l的距离d=，直线l与圆c相交所得的弦长=2=故答案为：点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题10（5分）（2013丰台区一模）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：40，50），50，60），90，100后得到频率分布直方图（如图所示）则分数在70，80）内的人数是30考点：频率分布直方图专题：概率与统计分析：由频率分布直方图得分数在70，80）内的频率等于1减去得分在40，70与80，100内的频率，再根据频数=频率样本容量得出结果解答：解：由题意，分数在70，80）内的频率为：1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）10=10.7=0.3则分数在70，80）内的人数是0.3100=30人； 故答案为：30点评：本题主要考查了频率分布直方图解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图，属于基础题11（5分）（2013丰台区一模）如图，已知直线pd切o于点d，直线po交o于点e，f若，则o的半径为；efd=15考点：与圆有关的比例线段专题：计算题；三角函数的求值；直线与圆分析：由切割线定理得pd2=pepf，代入题中数据解出pe=根据圆心0在直线pef上，算出直径ef=pfpe=2，可得半径r=由edpdfp算出=，再在rtdef中利用正切的定义算出tanefd=，从而得到efd的大小解答：解：线pd切o于点d，po交o于点e，fpd2=pepf，可得12=pe（），解之得pe=由此可得ef=pfpe=（）=2o是圆心，ef经过点o，直径ef=2，可得o的半径为r=edp=dfp，p是公共角，edpdfp，可得=ef是o直径，dedf因此，rtdef中，tandfp=结合dfp是锐角，得dfp=15，即efd=15故答案为：，15点评：本题给出圆的切线长和经过圆心的割线长，求圆的半径并求efd的大小着重考查了切割线定理、相似三角形的判定与性质和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题12（5分）（2013丰台区一模）在直角梯形abcd中，adbc，a=90，ab=ad=1，bc=2，e是cd的中点，则=1考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：以b为原点，以bc、ab所在直线为x、y轴，建立如图直角坐标系则a（0，1），b（0，0），c（2，0），d（1，1），从而得到e的坐标为（，），从而得到向量的坐标，结合数量积的坐标公式可得的值解答：解：以b为原点，以bc、ab所在直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系，可得a（0，1），b（0，0），c（2，0），d（1，1）e是cd的中点，点e的坐标为（，）因此，=（1，1），=（，）可得=（1）+1=1故答案为：1点评：本题在直角梯形中求向量的数量积，着重考查了平面向量数量积的坐标运算公式和梯形的性质等知识，属于基础题13（5分）（2013丰台区一模）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；作图题分析：由三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积作和即可解答：解：由三视图可得原几何体如图，该几何体的高po=2，底面abc为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面abc和侧面pbc事实上，po底面abc，平面pac底面abc，而bcac，bc平面pac，bcacpc=所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是故答案为点评：本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了三角形的面积，是基础题14（5分）（2013丰台区一模）已知m是集合1，2，3，2k1（kn*，k2）的非空子集，且当xm时，有2kxm记满足条件的集合m的个数为f（k），则f（2）=3；f（k）=2k1考点：子集与真子集分析：根据集合的元素数目与非空子集个数的关系，计算可得答案解答：解：将1，2k1分为k组，1和2k1，2和2k2，k1和k+1，k（单独一组）每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合m每组属于或不属于m，共两种情况m的可能性有2k排除一个空集m的可能性为2k1所以f（k）=2k1f（2）=221=3 故答案为：3；2k1点评：本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个三、解答题15（13分）（2013丰台区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）22cos2x（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）求函数f（x）在上的值域考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）化简可得f（x）=sin（2x），可得周期为，由2k2x2k+，解x的范围可得单调递增区间；（）由x的范围可得2x的范围，进而可得2x的范围，由正弦函数的知识可得sin（2x）的范围，进而可得答案解答：解：（）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x2cos2x=1+sin2x2cos2x=sin2xcos2x=sin（2x）故函数f（x）的最小正周期为t=，由2k2x2k+，可得kxk+，故函数的单调递增区间为：k，k+，（kz）；（）x，2x，2x，故sin（2x），所以sin（2x），故函数f（x）在上的值域为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数的单调性和值域的求解，属中档题16（14分）（2013丰台区一模）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，md平面abcd，nbmd，且nb=1，md=2；（）求证：am平面bcn；（）求an与平面mnc所成角的正弦值；（）e为直线mn上一点，且平面ade平面mnc，求的值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面amd平面bcn，然后证明am平面bcn；（）以d为原点，da，dc，dm所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面mnc的法向量以及直线an向量，然后求an与平面mnc所成角的正弦值；（）设e（x，y，z），推出e点的坐标为（2，2，2），通过，求出，即可求的值解答：（本题14分）解：（）证明：abcd是正方形，bcadbc平面amd，ad平面amd，bc平面amdnbmd，nb平面amd，md平面amd，nb平面amdnbbc=b，nb平面bcn，bc平面bcn，平面amd平面bcn（3分）am平面amd，am平面bcn（4分）（也可建立直角坐标系，证明am垂直平面bcn的法向量，酌情给分）（）md平面abcd，abcd是正方形，所以，可选点d为原点，da，dc，dm所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）（5分）则a（2，0，0），m（0，0，2），c（0，2，0），n（2，2，1），（6分），设平面mnc的法向量，则，令z=2，则，（7分）设an与平面mnc所成角为，（9分）（）设e（x，y，z），又，e点的坐标为（2，2，2），（11分）ad面mdc，admc，欲使平面ade平面mnc，只要aemc，42（2）=0，所以（14分）点评：本题考查平面与平面平行的性质定理，直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，向量法解决几何问题的方法考查空间想象能力与计算能力17（13分）（2013丰台区一模）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元（）求甲和乙都不获奖的概率；（）设x是甲获奖的金额，求x的分布列和均值ex考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（）设“甲和乙都不获奖”为事件a欲求事件a的概率，根据抽奖规则，计算从6人中随机抽取两人，三次都没有抽到甲和乙的概率即可；（）x是甲获奖的金额，x的所有可能的取值为0，400，600，1000，求出相应的概率，即可得到分布列与均值解答：解：（）设“甲和乙都不获奖”为事件a，（1分）则p（a）=，答：甲和乙都不获奖的概率为（5分）（）x的所有可能的取值为0，400，600，1000，（6分）p（x=0）=，p（x=400）=，p（x=600）=，p（x=1000）=，（10分）x的分布列为x04006001000p（11分）e（x）=0+400+600+1000=500（元）答：甲获奖的金额的均值为500（元）（13分）点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义18（13分）（2013丰台区一模）已知函数，g（x）=bx2+3x（）若曲线h（x）=f（x）g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；（）当a3，+），且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间2，1上的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：综合题；导数的综合应用分析：（）由h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，得，由该方程组即可解得a，b值；（） 由ab=8可把（x）表示出含a的函数，求导（x），在定义域内解不等式（x）0，（x）0即得单调区间；由a3，+），得，按照极大值点在区间2，1的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论即可得到答案；解答：解：（）函数h（x）定义域为x|xa，则，h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，即，解得或；（）（x）=（x+a）（bx2+3x）（xa），ab=8，所以，（xa），令（x）=0，得，或，因为a3，+），所以，故当，或时，（x）0，当时，（x）0，函数（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，a3，+），当，即a12时，（x）在2，1单调递增，（x）在该区间的最小值为；当，即6a12时，（x）在2，）上单调递减，在上单调递增，（x）在该区间的最小值为=；当时，即3a6时，（x）在2，1单调递减，（x）在该区间的最小值为，综上所述，当3a6时，最小值为；当6a12时，最小值为；当a12时，最小值为点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，充分体会数形结合思想在（）问中的应用19（13分）（2013丰台区一模）已知以原点为对称中心、f（2，0）为右焦点的椭圆c过p（2，），直线l：y=kx+m（k0）交椭圆c于不同的两点a，b（）求椭圆c的方程；（）是否存在实数k，使线段ab的垂直平分线经过点q（0，3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点p（2，），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求；（）存在实数k，使线段ab的垂直平分线经过点q（0，3），由给出的椭圆方程和直线ab方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出ab中点坐标，由ab的中点和q（0，3）的连线和直线ab垂直得到直线ab的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0，说明假设不成立，得到结论解答：解：（）设椭圆c的方程为（ab0），c=2，且椭圆过点p（2，），所以，解得a2=8，b2=4，所以椭圆c的方程为；（）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点q（0，3），设a（x1，y1）、b（x2，y2），ab的中点为n（x0，y0），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m28=0，则=16m2k24（1+2k2）（2m28）=64k28m2+320，所以8k2m2+40，又，线段ab的垂直平分线过点q（0，3），knqk=1，即，m=3+6k2，代入0整理，得36k4+28k2+50，此式显然不成立不存在满足题意的k的值点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题20（