北京市昌平区高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

北京市昌平区2015届高三 上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）已知集合a=x|（x4）（x+2）=0，b=x|x3，则ab等于（）a2b3c4d2，42（5分）已知ab0，则下列不等式成立的是（）aa2b2bc|a|b|d2a2b3（5分）执行如图所示的程序框图，输出a的值是（）a4b8c16d324（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）a8bc4d5（5分）已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是（）a若，m，则mb若，m，则mc若，m，则md若m，m，则6（5分）在2014年apec会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是（）a32人b35人c40人d45 人7（5分）在abc中，角a，b，c对应的边分别为a，b，c若a=1，a=30，则“b=60”是“b=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件8（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）a甲b乙c丙d丁二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）设复数z=12i，则|z|=10（5分）（1+2x）5的展开式中含x2项的系数是（用数字作答）11（5分）设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为12（5分）平面向量与的夹角为60，=（1，0），|=2，则|2|=13（5分）已知双曲线x2=1（m0）的离心率是2，则m=，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是14（5分）已知函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），有如下结论：x（1，1），有f（x）=f（x）；x（1，1），有f（x）=f（x）；x1，x2（1，1），有0；x1，x2（0，1），有f（）其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13分）已知函数（） 求函数f（x）的最小正周期；（）当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值16（13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图已知甲班样本成绩的中位数为13，乙班样本成绩的平均数为16（） 求x，y的值；（） 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低（只需写出结论）；（） 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望（注：方差s2=，其中为x1，x2，xn的平均数）17（14分）如图，pd垂直于梯形abcd所在的平面，adc=bad=90f为pa中点，pd=，ab=ad=cd=1四边形pdce为矩形，线段pc交de于点n（）求证：ac平面def；（）求二面角abcp的大小；（）在线段ef上是否存在一点q，使得bq与平面bcp所成角的大小为？若存在，请求出fq的长；若不存在，请说明理由18（13分）已知函数f（x）=lnxa2x2+ax（ar）（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；（2）若函数f（x）在区间（1，+）上是减函数，求实数a的取值范围19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0），经过点p（1，），离心率是（）求椭圆c的方程；（）设直线l与椭圆c交于a，b两点，且以ab为直径的圆过椭圆右顶点m，求证：直线l恒过定点20（13分）已知数列an满足a1=，an+1=，数列an的前n项和为sn，bn=a2n，其中nn*（） 求a2+a3的值；（） 证明：数列bn为等比数列；（） 是否存在n（nn*），使得s2n+1=b2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由北京市昌平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）已知集合a=x|（x4）（x+2）=0，b=x|x3，则ab等于（）a2b3c4d2，4考点：交集及其运算 专题：集合分析：求解一元二次方程化简集合a，然后直接利用交集运算得答案解答：解：a=x|（x4）（x+2）=0=2，4，b=x|x3，ab=2，4x|x3=4故选：c点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次方程的解法，是基础题2（5分）已知ab0，则下列不等式成立的是（）aa2b2bc|a|b|d2a2b考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：考察指数函数y=2x的单调性即可得出解答：解：ab0，2a2b，故选：d点评：本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题3（5分）执行如图所示的程序框图，输出a的值是（）a4b8c16d32考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，a的值，当n=4时，满足条件n3，退出循环，输出a的值为8解答：解：执行程序框图，有a=1，n=1n=2，a=2不满足条件n3，n=3，a=4不满足条件n3，n=4，a=8满足条件n3，退出循环，输出a的值为8故选：b点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查4（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）a8bc4d考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面求出底面面积和高，即可求出体积解答：解：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面底面对角线的长为2，底面面积是s=22=2，四棱锥高为h=2，所以它的体积是22=，故选：d点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5（5分）已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是（）a若，m，则mb若，m，则mc若，m，则md若m，m，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答解答：解：对于选项a，若，m，则m与可能平行或者斜交；故a错误；对于选项b，若，m，则m或者m；故b 错误；对于选项c，若，m，则由面面平行的性质定理可得m；故c正确；对于选项d，若m，m，则与可能相交；故d错误；故选c点评：本题考查了面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练掌握定理，正确分析6（5分）在2014年apec会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是（）a32人b35人c40人d45 人考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的性质即可得到结论解答：解：设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1x30且xn时，m=800，ymax=8003012000=12000，当30x45且xn时，m=80020（x30）=140020x，则y=（140020x）x12000=20x2+1400x12000，对应的抛物线开口向下，因为xn，所以当x=35，函数取得最大值所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润故选：b点评：本题考查函数的应用问题，考查函数的最大值的应用，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键7（5分）在abc中，角a，b，c对应的边分别为a，b，c若a=1，a=30，则“b=60”是“b=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可解答：解：在三角形中由正弦定理得，若b=60，则，解得b=，即充分性成立，若b=，则，解得sinb=，解得b=60或b=120，故“b=60”是“b=”充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的正弦定理是解决本题的关键8（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）a甲b乙c丙d丁考点：进行简单的合情推理 专题：综合题；推理和证明分析：此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论解答：解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：a点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）设复数z=12i，则|z|=考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数模的定义计算解答：解：z=12i，|z|=故答案为：点评：本题考查了复数模的求法，是基础题10（5分）（1+2x）5的展开式中含x2项的系数是40（用数字作答）考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：本题是求系数问题，故可以利用通项公式tr+1=cnranrbr来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数为40解答：解：由二项式定理的通项公式tr+1=cnranrbr可设含x2项的项是tr+1=c5r15r（2x）r=2rc5rxr，可知r=2，所以系数为22c52=40所以答案应填40点评：本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等11（5分）设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为2考点：简单线性规划 专题：计算题；压轴题；数形结合分析：先画出对应的可行域，结合图象求出目标函数取最大值时对应的点，代入即可求出其最值解答：解：约束条件对应的可行域如图：由图得，当z=2x+y位于点b（1，0）时，z=2x+y取最大值，此时：z=21+0=2故答案为：2点评：本题主要考查简单线性规划线性目标函数求最值的步骤简单记为：1，作图；2，平移；3，求值12（5分）平面向量与的夹角为60，=（1，0），|=2，则|2|=2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：求得向量a的模，运用向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方，计算即可得到解答：解：=（1，0），即|=1，=|cos60=1=1，则|2|=2，故答案为：2点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题13（5分）已知双曲线x2=1（m0）的离心率是2，则m=3，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是（x2）2+y2=3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，c，由离心率公式，计算即可得到m，求出双曲线 都将揭晓方程，再由直线和圆相切的条件可得d=r，运用点到直线的距离公式，计算即可得到解答：解：双曲线x2=1（m0）的a=1，b=，c=，则e=2，解得，m=3；则有双曲线的方程为x2=1，其右焦点为（2，0），渐近线方程为y=x，由题意可得，d=r=，则所求圆的方程为（x2）2+y2=3故答案为：3，（x2）2+y2=3点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题14（5分）已知函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），有如下结论：x（1，1），有f（x）=f（x）；x（1，1），有f（x）=f（x）；x1，x2（1，1），有0；x1，x2（0，1），有f（）其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）考点：对数函数的图像与性质；对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）是定义域（1，1）上的奇函数，判断错误，正确；根据f（x）是定义域（1，1）上的增函数，判断正确，根据f（x）的图象在（0，1）上是向下凹的增函数，判断正确解答：解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x）=ln，x（1，1）；x（1，1），有f（x）=ln=ln=ln=f（x）；错误，正确；又设x1，x2（1，1），且x1x2，则f（x1）f（x2）=lnln=ln，1x11x20，1+x21+x10，01，ln0，f（x1）f（x2），f（x）是定义域（1，1）上的增函数，即x1，x2（1，1），有0，正确；又f（x）=ln（1+x）ln（1x），求导得：f（x）=+=+=0，设g（x）=，x（0，1），再求导得：g（x）=0，f（x）是向下凹的增函数，x1，x2（0，1），有f（），正确综上，正确结论的序号是故答案为：点评：本题考查了判断函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了导数的应用问题，是综合性题目三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13分）已知函数（） 求函数f（x）的最小正周期；（）当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）根据倍角公式化简可得解析式f（x）=，从而根据周期公式可求解（）由已知可得，从而根据正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值解答：（本小题满分13分）解：（）因为 （4分）=（6分）所以（7分）（）因为，所以（9分）所以当即时，函数f（x）的最大值是2（13分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查16（13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图已知甲班样本成绩的中位数为13，乙班样本成绩的平均数为16（） 求x，y的值；（） 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低（只需写出结论）；（） 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望（注：方差s2=，其中为x1，x2，xn的平均数）考点：极差、方差与标准差；茎叶图 专题：概率与统计分析：（i）根据中位数与平均数的概念，求出x、y的值；（ii）根据甲、乙两班的平均数与方差，比较得出结论；（iii）根据题意，求出这两班测试成绩的和的可能值，计算概率值，列出的分布列，求出期望值解答：解：（i）根据题意，得；甲班数据依次为9，12，10+x，20，26，中位数为10+x=13，即x=3；乙班的平均数是，解得y=8；（4分）（ii）乙班整体水平高，甲班的平均数与方差为，乙班的平均数与方差为，；，乙班的整体水平稳定些；（7分）（iii） 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班为：12，13，20，乙班为：15，18，18；这两班测试成绩的和为，则=27，28，30，31，35，38；，；所以的分布列为272830313538p所以的期望为=32（13分）点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数以及离散型随机变量的分布列和期望的应用问题，是基础性题目17（14分）如图，pd垂直于梯形abcd所在的平面，adc=bad=90f为pa中点，pd=，ab=ad=cd=1四边形pdce为矩形，线段pc交de于点n（）求证：ac平面def；（）求二面角abcp的大小；（）在线段ef上是否存在一点q，使得bq与平面bcp所成角的大小为？若存在，请求出fq的长；若不存在，请说明理由考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）连接fn，证明fnac，然后利用直线与平面平行的判定定理证明ac平面def（）以d为原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz，求出平面pbc的法向量，平，通过向量的数量积求解二面角abcp的大小（） 设存在点q满足条件设，通过直线bq与平面bcp所成角的大小为，列出关系式，求出，然后求解fq的长解答：（本小题满分14分）解：（）证明：连接fn，在pac中，f，n分别为pa，pc中点，所以fnac，因为fn平面def，ac平面def，所以ac平面def（4分）（）如图以d为原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz（5分）则设平面pbc的法向量为，则，即，解得，令x=1，得 ，所以（7分）因为平，所以，由图可知二面角abcp为锐二面角，所以二面角abcp的大小为（9分）（） 设存在点q满足条件由设，整理得 ，（11分）因为直线bq与平面bcp所成角的大小为，所以 ，（13分）则2=1，由01知=1，即q点与e点重合故在线段ef上存在一点q，且（14分）点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力18（13分）已知函数f（x）=lnxa2x2+ax（ar）（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；（2）若函数f（x）在区间（1，+）上是减函数，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）最大值；（2）对参数a进行讨论，然后利用导数f（x）0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间a，再与已知条件中的减区间（1，+）比较，即只需要（1，+）a即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数f（x）在区间（1，+）上是减函数，我们可以转化为f（x）0在区间（1，+）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnxx2+x，其定义域是（0，+），（1分）（2分）令f（x）=0，即，解得或x=1x0，舍去当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln112+1=0（6分）（2）法一：因为f（x）=lnxa2x2+ax其定义域为（0，+），所以当a=0时，f（x）在区间（0，+）上为增函数，不合题意（8分）当a0时，f（x）0（x0）等价于（2ax+1）（ax1）0（x0），即此时f（x）的单调递减区间为依题意，得解之得a1（12分）当a0时，f（x）0（x0）等价于（2ax+1）（ax1）0（x0），即此时f（x）的单调递减区间为，得（14分）综上，实数a的取值范围是（16分）法二：f（x）=lnxa2x2+ax，x（0，+）由f（x）在区间（1，+）上是减函数，可得2a2x2+ax+10在区间（1，+）上恒成立8分当a=0时，10不合题意10当a0时，可得即14分16分点评：本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0），经过点p（1，），离心率是（）求椭圆c的方程；（）设直线l与椭圆c交于a，b两点，且以ab为直径的圆过椭圆右顶点m，求证：直线l恒过定点考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）通过将点p代入椭圆方程并利用离心率为，计算即得结论；（ii）通过对直线的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，利用韦达定理及，通过将直线方程代入向量数量积的坐标运算中，计算即得结论解答：（i）解：由，解得：，所以椭圆c的方程是：；（ii）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意（2）不妨设直线l的方程为 x=ky+m由，消去x得（k2+4）y2+2kmy+m24=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则有，以ab为直径的圆过点m，由，得（x12）（x22）+y1y2=0将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得将代入，得 ，解得或m=2（舍）综上，直线l