北京市海淀区高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理 科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）abcd2（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）a4bc1d3（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）a8bcd64（4分）已知圆o：x2+y2=1，直线l：3x+4y3=0，则直线l被圆o所截的弦长为（）ab1cd25（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，1），则其中共面的三个向量是（）a，b，c，d，6（4分）已知等差数列an，则“a2a1”是“数列an为单调递增数列”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件7（4分）已知正四面体abcd的棱长为2，点e是ad的中点，则下面四个命题中正确的是（）afbc，efadbfbc，efaccfbc，efdfbc，efac8（4分）已知曲线w：+|y|=1，则曲线w上的点到原点距离的取值范围是（）abcd二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9（4分）已知直线xay1=0与直线y=ax平行，则实数a=10（4分）双曲线的两条渐近线方程为11（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为12（4分）已知椭圆c=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，若等边f1f2p的一个顶点p在椭圆c上，则椭圆c的离心率为13（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为f，点p在抛物线上，且|ap|=|pf|，则|op|=14（4分）在正方体abcda1b1c1d1中，为其六个面中的一个点p且p不在棱上，若p到异面直线aa1，cd的距离相等，则点p的轨迹可能是（填上所有正确的序号）圆的一部分椭圆的一部分双曲线的一部分抛物线的一部分三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（10分）已知点a（0，2），圆o：x2+y2=1（）求经过点a与圆o相切的直线方程；（）若点p是圆o上的动点，求的取值范围16（12分）已知抛物线w：y2=4x的焦点为f，直线y=2x+t与抛物线w相交于a，b两点（）将|ab|表示为t的函数；（）若|ab|=3，求afb的周长17（12分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），d（0，0，2），e（0，2，1）（）求证：直线be平面ado；（）求直线ob和平面abd所成的角；（）在直线be上是否存在点p，使得直线ap与直线bd垂直？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由18（10分）如图，已知y=kx（k0）与椭圆：+y2=1交于p，q两点，过点p的直线pa与pq垂直，且与椭圆c的另一个交点为4（1）求直线pa与aq的斜率之积；（2）若直线aq与x轴交于点b，求证：pb与x轴垂直北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）abcd考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为，专题：等差数列与等比数列；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：在等差数列an中，若a2a1，则d0，即数列an为单调递增数列，若数列an为单调递增数列，则a2a1，成立，即“a2a1”是“数列an为单调递增数列”充分必要条件，故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键7（4分）已知正四面体abcd的棱长为2，点e是ad的中点，则下面四个命题中正确的是（）afbc，efadbfbc，efaccfbc，efdfbc，efac考点：棱锥的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定ad面bce，由此说明a正确；由三垂线定理结合bec为锐角三角形说明b错误；举例说明c错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明d错误解答：解：如图，四面体abcd为正四面体，且e为ad的中点，bead，cead，又bece=e，ad面bce，则fbc，efad，选项a正确；由ae面bce，aeef，若acef，则ceef，bec为锐角三角形，不存在fbc，使efac，选项b错误；取bc中点f，可求得df=，又de=1，得ef=，选项c错误；ac是平面bce的一条斜线，ac与平面bce内直线的位置关系是相交或异面，选项d错误故选：a点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题8（4分）已知曲线w：+|y|=1，则曲线w上的点到原点距离的取值范围是（）abcd考点：两点间距离公式的应用 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：化简方程+|y|=1，得到x2=12|y|，作出曲线w的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到范围解答：解：+|y|=1即为=1|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y22|y|，即有x2=12|y|，作出曲线w的图形，如右：则由图象可得，o与点（1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；o与点（0，）或（0，）的距离最小，且为故曲线w上的点到原点距离的取值范围是故选a点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9（4分）已知直线xay1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a0，故直线xay1=0可化为x，由直线平行可得a=，解得a=1故答案为：1或1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题10（4分）双曲线的两条渐近线方程为考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为1或1考点：空间向量的夹角与距离求解公式 专题：空间向量及应用分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或1故答案为：1或1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型12（4分）已知椭圆c=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，若等边f1f2p的一个顶点p在椭圆c上，则椭圆c的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意和椭圆的对称性可得：点p是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆c的离心率解答：解：因为等边f1f2p的一个顶点p在椭圆c上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点p是椭圆短轴上的顶点，因为f1f2p是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点p的位置，属于中档题13（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为f，点p在抛物线上，且|ap|=|pf|，则|op|=考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得抛物线的焦点f，设p（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|ap|=|pf|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论解答：解：抛物线y2=2x的焦点为f（，0），设p（m2，m），由|ap|=|pf|，可得|ap|2=2|pf|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m42m2+1=0，解得m2=1，即有|op|=故答案为：点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题14（4分）在正方体abcda1b1c1d1中，为其六个面中的一个点p且p不在棱上，若p到异面直线aa1，cd的距离相等，则点p的轨迹可能是（填上所有正确的序号）圆的一部分椭圆的一部分双曲线的一部分抛物线的一部分考点：棱柱的结构特征 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先判断pa表示p到直线aa1的距离，从而可得点p到a的距离等于点p到直线cd的距离，利用抛物线的定义，可得结论解答：解：设为平面abcd，则由题意，aa1平面abcd，pa平面abcdaa1papa表示p到直线aa1的距离点p到直线cd的距离等于它到直线aa1的距离点p到a的距离等于点p到直线cd的距离p点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断pa表示p到直线aa1的距离是解题的关键三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（10分）已知点a（0，2），圆o：x2+y2=1（）求经过点a与圆o相切的直线方程；（）若点p是圆o上的动点，求的取值范围考点：直线和圆的方程的应用 专题：平面向量及应用；直线与圆分析：（1）由已知中直线过点a我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出p点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据p在圆上的条件，进而得到结论解答：（本小题满分10分）解：（ i）由题意，所求直线的斜率存在设切线方程为y=kx+2，即kxy+2=0，（1分）所以圆心o到直线的距离为，（3分）所以，解得，（4分）所求直线方程为或（5分）（ ii）设点p（x，y），所以 ，（6分）所以 （7分）因为点p在圆上，所以x2+y2=1，所以（8分）又因为x2+y2=1，所以1y1，（9分）所以（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示16（12分）已知抛物线w：y2=4x的焦点为f，直线y=2x+t与抛物线w相交于a，b两点（）将|ab|表示为t的函数；（）若|ab|=3，求afb的周长考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）设点a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（ii）运用抛物线的定义和（i）的结论，可得|af|+|bf|，进而得到afb的周长解答：解：（i）设点a（x1，y1），b（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t4）x+t2=0，则，所以，其中；（ii）由，则=3，解得t=4，经检验，此时=1632t0，所以x1+x2=1t=5，由抛物线的定义，有，又，所以afb的周长为点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题17（12分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），d（0，0，2），e（0，2，1）（）求证：直线be平面ado；（）求直线ob和平面abd所成的角；（）在直线be上是否存在点p，使得直线ap与直线bd垂直？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线be平面ado；（）求出平面abd的法向量，利用向量法即可求直线ob和平面abd所成的角；（）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论解答：解：（i）法一：取点c（0，2，0）则，所以，所以oacb（1分）又，所以，所以odce（2分）又oaod=d，cecb=c所以平面oadcbe（3分）所以be平面ado（4分）法二：由题意，点a，d，o所在的平面就是 xoz平面，取其法向量为，（1分）而，所以，即，（3分）又显然点b，e不在平面ado上，所以be平面ado（4分）（ ii）设平面abd的法向量为，因为，所以，所以可取（6分）又，设ob与平面abd所成的角为所以（8分）所以直线ob和平面abd所成的角为（9分）（）假设存在点p（x，y，z），使得直线ap与直线bd垂直设，即（x2，y2，z）=（2，0，）（10分）所以，所以又，所以，（11分）解得，所以在直线be上存在点p，使得直线ap与直线bd垂直，点p的坐标为（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键18（10分）如图，已知y=kx（k0）与椭圆：+y2=1交于p，q两点，过点p的直线pa与pq垂直，且与椭圆c的另一个交点为4（1）求直线pa与aq的斜率之积；（2）若直线aq与x轴交于点b，求证：pb与x轴垂直考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设p（x1，y1），a（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，设q（x1，y1），由此能求出直线pa与aq的斜率之积为（2）由，得kaq