北京市石景山区高一数学下学期期末试卷（含解析）.doc

北京市石景山区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内1（4分）下列结论正确的是（）a若ab，则acbcb若ab，则a2b2c若a+cb+c，c0，则abd若，则ab2（4分）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）a16b17c18d193（4分）下面关于算法的说法正确的是（）a秦九韶算法是求两个数的最大公约数的方法b更相减损术是求多项式的值的方法c割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率d以上结论皆错4（4分）设变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）a5b1c1d55（4分）已知abc的三个内角满足sina：sinb：sinc=5：11：13，则abc是（）a等腰三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形6（4分）某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表，根据右表可得回归方程中的，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）x4235y38203151a50b60c63d597（4分）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，a=30，则角b等于（）a30b30或150c60d60或1208（4分）在等差数列的值为（）a30b31c32d339（4分）执行如图所示的程序框图，若“否”箭头分别指向和，则输出的结果分别是（）a55，53b51，49c55，49d53，5110（4分）设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bn=an+1（n=1，2，），若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则q等于（）abcd二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分把答案填在题中横线上11（3分）某高中为了解在校高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的高中生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三的人数之比为4：5：6，则应从2014-2015学年高一年级抽取名学生12（3分）算式40=4中，在横线中填入两个正整数，使它们的乘积最大13（3分）已知abc在正方形网格中的位置如图所示，则cosabc=14（3分）将数列an按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列若a1=1，a3=4，a5=3，则d=；第n行的和tn=三、解答题：本大题共6个小题，共48分写出必要的解题步骤及证明过程15（8分）设abc的内角a，b，c所对的边为a，b，c，且有2sinbcosa=sinacosc+cosasinc（）求角a的大小； （）若b=2，c=3，d为ac的中点，求bd的长16（8分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）0.10（10，200.20（20，300.30（30，400.25（40，500.15（）写出频率分布直方图中的a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；答：a=；（）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）答：s12s2217（8分）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前n项和为sn（）求an及sn；（）令bn=（nn*），求数列bn的前n项和tn18（8分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时（）设甲停车付费a元依据题意，填写下表：甲停车时长（小时）（0，1（1，2（2，3（3，4甲停车费a（元）（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率；（）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率19（8分）某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由20（8分）已知数列an满足（c为常数，nn*）（1）当c=2时，求an；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使an+3=an恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论北京市石景山区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内1（4分）下列结论正确的是（）a若ab，则acbcb若ab，则a2b2c若a+cb+c，c0，则abd若，则ab考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：通过举反例可得a、b、c不成立，里用不等式的性质可得d成立，从而得出结论解答：解：当c=0时，a不成立；当a=1、b=2时，b不成立；令c=1，则由a+cb+c，可得ab，故c不成立；若，则一定能推出ab，故d成立，故选：d点评：本题主要考查不等式的基本性质，通过举反例来说明某个结论不成立，是一种简单有效的方法，属于基础题2（4分）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）a16b17c18d19考点：概率的应用 专题：计算题；概率与统计分析：欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可解答：解：黄豆落在椭圆外的概率为：解得：s=18故选：c点评：本题考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，称为几何概型3（4分）下面关于算法的说法正确的是（）a秦九韶算法是求两个数的最大公约数的方法b更相减损术是求多项式的值的方法c割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率d以上结论皆错考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；推理和证明分析：秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化；更相减损术是求两个数的最大公约数的方法；割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，即可得出结论解答：解：秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，故a不正确；更相减损术是求两个数的最大公约数的方法，故b不正确；割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，正确；故选：c点评：本题考查秦九韶算法、更相减损术、割圆术，考查学生对概念的理解，比较基础4（4分）设变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）a5b1c1d5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即c（3，5）将c（3，5）的坐标代入目标函数z=2xy，得z=65=1即z=2xy的最大值为1故选：c点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法5（4分）已知abc的三个内角满足sina：sinb：sinc=5：11：13，则abc是（）a等腰三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理可得a：b：c=5：11：13，c为最大角再由余弦定理可得cosc=0，可得c为钝角，从而得出结论解答：解：由abc的三个内角满足sina：sinb：sinc=5：11：13，利用正弦定理可得a：b：c=5：11：13，设a=5k，则b=11k，c=13k，故c为最大角由余弦定理可得cosc=0，可得c为钝角，故abc是钝角三角形，故选：d点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题6（4分）某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表，根据右表可得回归方程中的，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）x4235y38203151a50b60c63d59考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：求出、，由回归方程过点（，），求出，再求x=6时的值解答：解：=3.5，=35，且回归方程中的，过点（，）；=10，=10x；当广告费用为x=6万元时，销售额为=106=60（万元）故选：b点评：本题考查了线性回归直线的应用问题，解题时应熟记回归直线过样本的中心点，是基础题目7（4分）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，a=30，则角b等于（）a30b30或150c60d60或120考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由a的度数求出sina的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinb的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数解答：解：a=4，b=4，a=30，由正弦定理=得：sinb=，b为三角形的内角，ba，ba，则b=60或120故选d点评：此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键8（4分）在等差数列的值为（）a30b31c32d33考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知和等差数列的性质可得a8，由通项公式化简可得=a8，代入化简可得解答：解：由等差数列的性质可得a4+a6+a8+a10+a12=5a8=240，解得a8=48，设等差数列an的公差为d，则=a8=32故选c点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题9（4分）执行如图所示的程序框图，若“否”箭头分别指向和，则输出的结果分别是（）a55，53b51，49c55，49d53，51考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，当“否”箭头指向或时，依次写出每次循环得到的s的值，即可得解解答：解：模拟执行程序框图，当“否”箭头指向时，可得i=1，s=1，i=2，s=5不满足条件s50，i=3，s=5+9=14不满足条件s50，i=4，s=14+16=30不满足条件s50，i=5，s=30+25=55满足条件s50，退出循环，输出s的值为55模拟执行程序框图，当“否”箭头指向时，可得i=1，s=1，i=2，s=5不满足条件s50，s=s+i2=5+4=9不满足条件s50，s=s+i2=9+4=13不满足条件s50，s=s+i2=53满足条件s50，退出循环，输出s的值为53故选：a点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，采用写出前几次循环的结果，从中找出规律，是解题的关键，属于基本知识的考查10（4分）设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bn=an+1（n=1，2，），若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则q等于（）abcd考点：等比数列的通项公式 专题：计算题分析：根据bn=an+1可知 an=bn1，依据bn有连续四项在53，23，19，37，82中，则可推知则an有连续四项在54，24，18，36，81中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项中24，36，54，81是an中连续的四项，求得q解答：解：bn有连续四项在53，23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn1则an有连续四项在54，24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项则q0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，24，36，54，81相邻两项相除=，=，=，=则可得，24，36，54，81是an中连续的四项q=或 q=（|q|1，此种情况应舍）q=故选c点评：本题考查等比数列的公比，注意递推公式的应用属简单题，理解题意，按绝对值顺序排列集合中的元素是解题的关键二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分把答案填在题中横线上11（3分）某高中为了解在校高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的高中生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三的人数之比为4：5：6，则应从2014-2015学年高一年级抽取80名学生考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三的人数之比为4：5：6，应从2014-2015学年高一年级抽取 =80，故答案为：80点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础12（3分）算式4020=45中，在横线中填入两个正整数，使它们的乘积最大考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：设a，bn*，满足40a=4b，则a=404b0，1b10，bn*可得ab=b（404b）=4（b5）2+100，利用二次函数的单调性即可得出解答：解：设a，bn*，满足40a=4b，则a=404b0，1b10，bn*ab=b（404b）=4（b5）2+100100，当且仅当b=5，a=20时取等号在横线中填入两个正整数分别为20，5时，可使它们的乘积最大故答案分别为：20；5点评：本题考查了二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（3分）已知abc在正方形网格中的位置如图所示，则cosabc=考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用勾股定理求得ab、bc、ac的值，再利用余弦定理求得cosabc的值解答：解：由题意可得ab=，ac=，bc=2，则cosabc=，故答案为：点评：本题主要考查勾股定理，余弦定理的应用，属于基础题14（3分）将数列an按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和tn=n22n1n考点：归纳推理 专题：综合题；推理和证明分析：依题意，可求得d=1，又a3=a2q=（a1+d）q，可求得q=2；记第n行第1个数为a，易求a=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和tn解答：解：依题意得a5=a1+2d，3=1+2d，d=1又a3=a2q=（a1+d）q，q=2，d，q的值分别为1，2；记第n行第1个数为a，则a=a1+（n1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，第n行共有（2n1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和tn=n22n1n故答案为：1，n22n1n；点评：本题考查数列的求和，突出考查归纳推理，考查方程思想与运算推理能力，判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键三、解答题：本大题共6个小题，共48分写出必要的解题步骤及证明过程15（8分）设abc的内角a，b，c所对的边为a，b，c，且有2sinbcosa=sinacosc+cosasinc（）求角a的大小； （）若b=2，c=3，d为ac的中点，求bd的长考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）根据两角和差的正弦公式，即可求角a的大小； （）由余弦定理，建立方程关系即可得到结论解答：解：（）因为a+b+c=，所以a+c=b a+c=b，a，b（0，） a，b（0，），所以sin（a+c）=sinb0 sin（a+c）=sinb0；又2sinbcosa=sinacosc+cosasinc=sin（a+c）=sinb（2分）所以，即（4分）（）b=2可得ad=1，（5分）在abd由余弦定理得：bd2=ab2+ad22abadcosa=7，a2=b2+c22bccosa （8分）点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键16（8分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）0.10（10，200.20（20，300.30（30，400.25（40，500.15（）写出频率分布直方图中的a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；答：a=0.015；（）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）答：s12s22考点：频率分布直方图；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：（）根据频率分布直方图的面积和等于1即可求出a；（）根据方差的定义进行判断即可解答：解：（）由频率分布直方图得10（0.020+0.010+0.030+a+0.025）=1，解得a=0.015； （2分）（5分）（） 故答案为：0.015，（8分）点评：本题主要考查频率分布直方图的应用，比较基础17（8分）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前n项和为sn（）求an及sn；（）令bn=（nn*），求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出 （）由（i）可得bn=，利用“裂项求和”即可得出解答：解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；sn=n2+2n （）=，tn=点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（8分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时（）设甲停车付费a元依据题意，填写下表：甲停车时长（小时）（0，1（1，2（2，3（3，4甲停车费a（元）（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率；（）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（）由题意可得表格；（）甲停车付费a元，设乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30列举可得总的基本事件，由概率公式可得；（）由对立事件的概率公式可得解答：解：（）由题意可得表格如下：甲停车时长（小时）（0，1（1，2（2，3（3，4甲停车费a（元）6142230（）甲停车付费a元，设乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形其中（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为；（）“甲临时停车付费恰为6元”为事件a，则 甲临时停车付费恰为6元的概率是点评：本题考查古典概型及其概率公式，列举是解决问题的关键，属基础题19（8分）某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由考点：基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质；函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，由此可得y与x之间的函数关系式；（2）方案一：，利用基本不等式可求最值方案二：y=2x2+40x98=2（x10）2+102，利用配方法求最值，比较即可得到结论解答：解：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得 （2分