优化方案：高中数学（文）高考总复习一轮用书第4章解析几何3节课件苏教版.ppt

第三节圆的方程 基础知识梳理 1 圆的方程 1 标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中为圆心 r为半径 2 一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 其中圆心为 半径为 a b 基础知识梳理 3 圆的参数方程 为参数 其中为圆心 为半径 a b r 基础知识梳理 二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的条件是什么 思考 提示 a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 思考 基础知识梳理 2 圆的方程的求法若已知条件与圆心 半径有关 可先求出圆心 半径 用圆的标准方程求解 若已知条件牵涉到圆过几个点 常用圆的一般方程形式 若所求的圆过已知两圆的交点 则可考虑将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程的形式 基础知识梳理 3 点与圆的位置关系点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的距离跟半径r的大小关系的比较来判断 1 点p x0 y0 与 m x a 2 y b 2 r2的位置关系有 x0 a 2 y0 b 2 点p在 m外点p在 m上点p在 m内 基础知识梳理 2 点p x0 y0 与 m x2 y2 dx ey f 0的位置关系由f x0 y0 x02 y02 dx0 ey0 f的值来确定 即f x0 y0 点p在圆外点p在圆上点p在圆内 三基能力强化 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 三基能力强化 答案 2 1 2 圆x2 y2 4x 2y 0的圆心和半径分别为 三基能力强化 3 2010年深圳质检 以原点为圆心 且过点 3 4 的圆的标准方程是 那么点 2 3 的位置在圆 内 上 外 答案 x2 y2 25内 三基能力强化 解析 法一 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知工厂 1 解得b 2 故圆的方程为x2 y 2 2 1 4 2009年高考重庆卷改编 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程为 三基能力强化 法二 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为1易知圆心为 0 2 故圆的方程为x2 y 2 2 1 答案 x2 y 2 2 1 三基能力强化 5 方程a2x2 a 2 y2 2ax a 0表示圆 则a 答案 1 解析 a2 a 2 a 1或a 2 当a 2时 4x2 4y2 4x 2 0即x2 y2 x 0不能表示圆 故a 1 课堂互动讲练 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的方程 应用三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用圆的标准式 否则选用一般式 另外 还有几何法可以用来求圆的方程 要充分利用圆的有关几何性质 如 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上 半径 弦心距 弦长的一半构成直角三角形 等 课堂互动讲练 2009年高考辽宁卷改编 已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为 课堂互动讲练 解析 由题意 可设圆心坐标为 a a 则 解得a 1 故圆心坐标为 1 1 半径r 所以圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 思路点拨 可利用直接法 即先确定圆心和半径 然后写出圆的方程 也可利用待定系数法求解 课堂互动讲练 答案 x 1 2 y 1 2 2 点评 求圆的方程有两类方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 根据题意选择方程的形式 标准形式或一般形式 利用条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 课堂互动讲练 1 例1其它条件不变 条件 圆心在直线x y 0上 改为 圆心在直线x y 1 0上 结果如何 解 直线x y 0与x y 4 0是两条平行直线 而x y 1 0与它们垂直 设三条直线的交点分别为a b两点 则ab的中点为圆心 长度为圆的直径 互动探究 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 求轨迹问题是解析几何的一个重要内容 也是高考的热点问题 因此必须认真领会 掌握 求轨迹时 应注意以下几点 1 求方程必须建立适当的平面直角坐标系 有利于简化解题过程 所得方程比较简单 课堂互动讲练 2 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 如有特殊情况 可适当予以说明 即删去增加的解和补上失去的解 3 一般地 求哪个点的轨迹 就设哪个点的坐标 4 求轨迹方程和求轨迹是有区别的 求轨迹方程得出方程即可 而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线 课堂互动讲练 5 在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中 可先确定一个较易求得的点的轨迹方程 再以此点作为主动点 所求轨迹上的点作为相关点 求得轨迹方程 课堂互动讲练 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4 0上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 思路点拨 点p的 动 因为n点在x2 y2 4上运动 寻找点p与动点n的坐标间的联系 进而求轨迹 课堂互动讲练 课堂互动讲练 故 x 3 2 y 4 2 4 0 所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 但应除去两点 课堂互动讲练 点评 本题求轨迹方程的方法叫相关点法 用相关点法求轨迹方程的基本步骤 设所求点的坐标为p x y 若x y与题中已知的字母有冲突 则将这些已知字母全部替换成其他字母 与p相应的符合某已知曲线的点的坐标设为o x0 y0 建立二者之间的等量关系 从而求得x0 f x y y0 g x y 将q x0 y0 的坐标代入点q满足的方程进行求解 等价化简得所求轨迹方程 课堂互动讲练 2 如图所示 圆o1和圆o2的半径都等于1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n为切点 使得pm pn 试建立平面直角坐标系 并求动点p的轨迹方程 跟踪训练 课堂互动讲练 解 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴 建立如图所示的坐标系 连结mo1 po1 no2 po2 课堂互动讲练 则o1 2 0 o2 2 0 由已知pm pn pm2 2pn2 又 两圆的半径均为1 po12 1 2 po22 1 设p x y 即 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 所求动点p的轨迹方程为 x 6 2 y2 33 或x2 y2 12x 3 0 课堂互动讲练 1 求与圆有关的最值问题多采用几何法 就是利用一些代数式的几何意义进行转化 如 1 形如m 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为直线在y轴上的截距的最值问题 3 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题 课堂互动讲练 2 特别要记住下面两个代数式的几何意义 表示点 x y 与原点 0 0 连线的直线斜率 表示点 x y 与原点的距离 课堂互动讲练 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 课堂互动讲练 思路点拨 方程x2 y2 4x 1 0表示圆心为 2 0 半径为的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 y x可看作直线y x b在y轴上的截距 x2 y2是圆上一点与原点距离的平方 可借助于平面几何知识 利用数形结合求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2 设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 此时 即b 2 故y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上点与原点距离的平方 由平面几何知识知它在x轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 故 x2 y2 max 2 2 7 4 x2 y2 min 2 2 7 4 课堂互动讲练 点评 涉及与圆有关的最值 可借助图形性质 利用数形结合求解 一般地 形如 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题等 课堂互动讲练 3 已知定点a 0 1 b 0 1 c 1 0 动点p x y 满足 1 求动点p的轨迹方程 并说明方程表示的曲线类型 2 当k 2时 求m x y的最值 跟踪训练 课堂互动讲练 所以x2 y2 1 k x 1 2 y2 1 k x2 1 k y2 2kx k 1 0 若k 1 则方程为x 1 表示过点 1 0 且平行于y轴的直线 若k 1 则方程化为 x 2 y2 2 表示以 0 为圆心 以为半径的圆 课堂互动讲练 课堂互动讲练 生活实际问题中 与圆的知识结合时 可根据圆的方程 圆的几何性质等来解答 往往用坐标法解之 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 有一种大型商品 a b两地都有出售 且价格相同 某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是 a地每公里的运费是b地每公里运费的3倍 已知a b两地距离为10公里 顾客选择a地或b地购买这件商品的标准是 包括运费和价格的总费用较低 求p地居民选择a地或b地购物总费用相等时 点p所在曲线的形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购物地点 课堂互动讲练 思路点拨 根据条件 建立适当坐标系 求出点p的轨迹方程 进而解决相关问题 解 如图 以a b所在的直线为x轴 线段ab的中点为原点建立直角坐标系 ab 10 a 5 0 b 5 0 1分设p x y p到a b两地购物的运费分别是3a a 元 公里 课堂互动讲练 当由p地到a b两地购物费用相等时 有 价格 a地运费 价格 b地运费 3a a 化简整理 得 x 2 y2 2 4分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 在解决有关的实际问题时 关键要明确题意 掌握建立数学模型的基本方法 数学实际应用题 在多年来的高考中得到了重视 除了在填空题中出现外 近几年都有解答题出现 应引起重视 平时多练习 以提高解决实际问题的能力 课堂互动讲练 4 本题满分15分 在某海滨城市附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于城市o 如图所示 的东偏南 cos 方向300km的海面p处 并以20km h的速度向西偏北45 方向移动 台风侵袭的范围为圆形区域 当前半径为60km 并以10km h的速度不断增大 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭 自我挑战 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解 如图所示 建立坐标系 以o为原点 正东 正北方向分别为x轴 y轴正方向 课堂互动讲练 在时刻t h 时台风中心p x y 的坐标为 6分此时台风侵袭的区域是 x x 2 y y 2 r t 2 其中r t 10t 60 若在t时刻城市o恰好开始受到台风的侵袭 则有 课堂互动讲练 规律方法总结 1 利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径 比较点到圆心的距离与半径的大小 能得出点与圆的位置关系 求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径 借助弦心距 弦 半径之间的关系计算时 可大大简化计算的过程与难度 规律方法总结 2 点与圆的位置关系有三种情形 点在圆内 点在圆上 点在圆外 其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系 dr时 点在圆外 规律方法总结 3 当二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0具有条件 1 a c 0 2 b 0 3 d2 e2 4af 0时 它才表示圆 条件 1 和 2 是此方程表示圆的