优化方案：高三数学（文）高考总复习一轮用书第16章导数2节课件苏教版.ppt

第二节导数与函数的单调性 基础知识梳理 1 函数的单调性函数f x 在某个区间 a b 内 若f x 0 则f x 为 若f x 0 则f x 为 若f x 0 则f x 为 2 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 那么函数在这个范围内变化 这时 函数的图象就越 增函数 常数 减函数 越大 越快 陡峭 基础知识梳理 3 利用导数判断函数单调性的一般步骤 1 求f x 2 在定义域内解不等式f x 0和f x 0 3 根据 2 的结果确定f x 的单调区间 基础知识梳理 若函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 这种说法是否正确 思考 提示 不正确 函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 此处f x 0 并不是指x在 a b 内处处有f x 0 可能只在某些具体的点处f x 0 思考 三基能力强化 1 2010年高考江苏卷 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x2 10 x 11 3 x 1 x 11 0 解得 1 x 11 故减区间为 1 11 答案 1 11 三基能力强化 2 2009年南京模拟 函数y xsinx cosx在下面哪个区间内是增函数 三基能力强化 答案 三基能力强化 3 已知对任意x r 恒有f x f x g x g x 且当x 0时 f x 0 g x 0 则当x0时 f x 0 奇函数在 0 上为增函数 在 0 上亦为增函数 f x 0 g x g x g x 为偶函数 三基能力强化 又 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上为增函数 g x 在 0 上为减函数 g x 0 g x 0 g x 0 三基能力强化 4 设f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 为增函数的充要条件是 解析 f x 3ax2 2bx c a 0 3a 0 又f x 为增函数 故f x 0恒成立 只须 2b 2 4 3ac 0 即b2 3ac 0 答案 b2 3ac 0 三基能力强化 5 三次函数y f x ax3 x在x 内是增函数 则a的取值范围是 解析 f x 3ax2 1 由f x 在r上为增函数 所以3ax2 1 0恒成立 于是有解得a 0 答案 a 0 课堂互动讲练 利用导数研究函数的单调性应注意以下两点 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分条件 而不是必要条件 如果出现个别点使f x 0 不会影响函数f x 在包含该点的某个区间上的单调性 2 一般地 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是 对任意的x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒等于零 特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时 要注意等号是否可以取到 课堂互动讲练 2009年高考全国卷 已知函数f x x4 3x2 6 1 讨论f x 的单调性 2 设点p在曲线y f x 上 若该曲线在点p处的切线l通过坐标原点 求l的方程 课堂互动讲练 思路点拨 1 求f x 令f x 0或f x 0 2 设p点坐标 表示出切线方程 把原点坐标代入切线方程 可求p点坐标 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2 设点p的坐标为 x0 f x0 由l过原点知 l的方程为y f x0 x 因此f x0 x0f x0 即x04 3x02 6 x0 4x03 6x0 0 整理得 x02 1 x02 2 0 课堂互动讲练 点评 求函数的单调区间 就是解f x 0或f x 0 这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间 对可导函数 求单调区间的步骤如下 1 求f x 的定义域 2 求出f x 课堂互动讲练 3 令f x 0 求出全部驻点 补充定义 若函数f x 在点x0处的导数f x0 0 则称点x0为函数f x 的驻点 4 驻点把定义域分成几个区间 列表考查在这几个区间内f x 的符号 因而可确定f x 的单调区间 课堂互动讲练 1 2008年高考重庆卷 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 2 由 1 知a 3 因此f x x3 3x2 9x 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得 x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 1 3 上为减函数 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 当x 3 时 f x 0 故f x 在 3 上为增函数 由此可见 函数f x 的单调递增区间为 1 3 单调递减区间为 1 3 课堂互动讲练 含参数的函数导数问题 是导数考查的重点 是考查分类讨论思想的载体 同时也是学习的一个难点 讨论的问题要理清讨论的线索与原则 本类问题的解决也是依据这种思想 课堂互动讲练 思路点拨 求导数 利用二次函数的知识讨论根的情况 2009年高考安徽卷 已知函数f x x a 2 lnx a 0 讨论f x 的单调性 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 用导数知识研究函数的单调性 就是解不等式f x 0或f x 0 解题过程中 一是要熟练掌握常用函数的导数 正确运用求导法则求出导函数 二是要灵活运用分解因式的方法 将导函数分解成若干个一次因式乘积的形式 便于判断f x 在各个区间所取的正负号 本例中还要注意分类讨论思想方法在解题中的运用 课堂互动讲练 跟踪训练 2 2009年高考辽宁卷 已知函数f x x2 ax a 1 lnx a 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 若a 1 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 若a 11 故10 故f x 在 a 1 1 上单调递减 在 0 a 1 1 上单调递增 若a 1 1 即a 2 同理可得f x 在 1 a 1 上单调递减 在 0 1 a 1 上单调递增 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 由于10 即g x 在 0 上单调递增 从而当x1 x2 0时 有g x1 g x2 0 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 本类问题为导数法求函数单调性的逆向思维问题 此类问题往往转化为函数恒成立问题 又多与求最值相联系解决 课堂互动讲练 2009年高考浙江卷 已知函数f x x3 1 a x2 a a 2 x b a b r 1 若函数f x 的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 3 求a b的值 2 若函数f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 课堂互动讲练 思路点拨 1 求f x f 0 2 f x 0在 1 1 上有解 解 1 由函数f x 的图象过原点 得b 0 又f x 3x2 2 1 a x a a 2 f x 在原点处的切线斜率是 3 则 a a 2 3 所以a 3或a 1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 已知函数f x 在区间 a b 上单调递增 减 可转化为f x 0 0 在区间 a b 上恒成立 特别注意f x 0 0 中的等号 对某些参数的范围端点的取舍至关重要 课堂互动讲练 3 例3其它条件不变 若f x 在区间 1 1 上单调 求a的取值范围 互动探究 课堂互动讲练 本类题主要涉及函数构造法 不等式的左右两侧相减 构造一个函数 转化为求函数的最值问题 进而证明不等式 课堂互动讲练 解题示范 本题满分14分 已知x 0 证明 不等式1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 x 0时 f x 0 当x 0时 f x 为增函数 课堂互动讲练 课堂互动讲练 当x 0时 1 x 1 g x 0 g x 为增函数 又当x 0时 g x 连续 g x g 0 0 g x 0 g x 是增函数 12分又g x 连续 g x g 0 0 课堂互动讲练 点评 采用求导的方法 利用函数的单调性证明不等式 也是证明不等式的常用技巧 若证明f x g x x a b 可以等价转化为证明f x g x 0 x a b 如果 f x g x 0 说明函数f x g x 在区间 a b 上是增函数 如果f a g a 0 由增函数的定义可知 当x a b 时 f x g x 0 即f x g x 课堂互动讲练 利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点 其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性 通过单调性求解不等式或证明不等式 这类试题在考查综合能力的同时 充分体现导数的工具性和导数应用的灵活性 与新课程标准接轨 彰显时代气息 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 解 1 f x 1 aln x 1 a 当a 0时 f x 1 0 f x 是增函数 当a 0时 由f x 0得aln x 1 1 a 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 3 证明 要证 1 m n 1 n m 只需证 nln 1 m mln 1 n 只需证 自我挑战 课堂互动讲练 由 1 知x 1 x ln 1 x 在 0 单调递减 x 1 x ln 1 x n g m g n 故原不等式成立 14分 自我挑战 规律方法总结 1 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 规律方法总结 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x