北京市西城区高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）设集合a=1，0，1，b=x|x2x2，则集合ab=（）a1，0，1b1，0c0，1d1，12（5分）设命题p：平面向量和，|+|，则p为（）a平面向量和，|+|b平面向量和，|+|c平面向量和，|+|d平面向量和，|+|3（5分）在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=2b，sinb=，则（）aa=ba=csina=dsina=4（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）a4b5c6d75（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，xr，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（） a最长棱的棱长为b最长棱的棱长为3c侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形d侧面四个三角形都是直角三角形7（5分）已知抛物线c：y2=4x，点p（m，0），o为坐标原点，若在抛物线c上存在一点q，使得oqp=90，则实数m的取值范围是（）a（4，8）b（4，+）c（0，4）d（8，+）8（5分）设d为不等式组表示的平面区域，点b（a，b）为坐标平面xoy内一点，若对于区域d内的任一点a（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）a2b1c0d3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）复数，则|z|=10（5分）设f1，f2为双曲线c：=1（a0）的左、右焦点，点p为双曲线c上一点，如果|pf1|pf2|=4，那么双曲线c的方程为；离心率为11（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z= 2x3yaz12（5分）如图，在abc中，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，且ac=2ae，那么=；a=13（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是（用数字作答）14（5分）设p，q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线pq旋转（02）角后能与自身重合，那么符合条件的直线pq有条三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数f（x）=2，xr的部分图象如图所示（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（） 设点b是图象上的最高点，点a是图象与x轴的交点，求tanbao的值16（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概 率（2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概 率pq（）当时，求q的值；（）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由17（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a底面abcd，bad=90，adbc，且a1a=ab=ad=2bc=2，点e在棱ab上，平面a1ec与棱c1d1相交于点f（）证明：a1f平面b1ce；（）若e是棱ab的中点，求二面角a1ecd的余弦值；（）求三棱锥b1a1ef的体积的最大值18（13分）已知函数f（x）=ax2bx（a0）和g（x）=lnx的图象有公共点p，且在点p处的切线相同（）若点p的坐标为，求a，b的值；（）已知a=b，求切点p的坐标19（14分）已知椭圆c：的右焦点为f，右顶点为a，离心率为e，点p（m，0）（m4）满足条件（）求m的值；（）设过点f的直线l与椭圆c相交于m，n两点，记pmf和pnf的面积分别为s1，s2，求证：20（13分）设函数f（x）=x（9x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，），定义变换a：a（n0）=f（a1）+f（a2）+f（am）并规定a（0）=0记n1=a（n0），n2=a（n1），nk=a（nk1），（）若n0=2015，求n2015；（）当m3时，证明：对于任意的m（mn*）位自然数n均有a（n）10m1；（）如果n010m（mn*，m3），写出nm的所有可能取值（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）设集合a=1，0，1，b=x|x2x2，则集合ab=（）a1，0，1b1，0c0，1d1，1考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算即可得到结论解答：解：b=x|x2x2=x|1x2，则ab=0，1，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）设命题p：平面向量和，|+|，则p为（）a平面向量和，|+|b平面向量和，|+|c平面向量和，|+|d平面向量和，|+|考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用；简易逻辑分析：由命题的否定的定义知命题p：平面向量和，|+|，则p：平面向量和，|+|解答：解：由平面向量和的否定为：平面向量和，|+|的否定为：|+|即有命题p：平面向量和，|+|，则p：平面向量和，|+|故选d点评：本题考查命题的否定，解题时要熟练掌握基本定义3（5分）在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=2b，sinb=，则（）aa=ba=csina=dsina=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinb的值代入求出sina的值，即可确定出a的度数解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sina=2sinb，将sinb=代入得：sina=，a为锐角，a=故选：a点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）a4b5c6d7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64106+3，退出循环，输出x的值为6解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y10x+3，x=4，y=16不满足条件y10x+3，x=5，y=32不满足条件y10x+3，x=6，y=64满足条件y=64106+3，退出循环，输出x的值为6故选：c点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，xr，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（x）=3x+bcosx=3xbcosx，即b=b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键6（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（） a最长棱的棱长为b最长棱的棱长为3c侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形d侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体如图所示，pa底面abcd，pa=2，底面是一个直角梯形，其中bcad，abad，bc=ab=1，ad=2可得pad，pab，pbc是直角三角形再利用三垂线定理可得pcd是直角三角形即可得出解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，pa底面abcd，pa=2，底面是一个直角梯形，其中bcad，abad，bc=ab=1，ad=2可得pad，pab，pbc是直角三角形取ad的中点o，连接oc，ac可得四边形abco是平行四边形，oc=od=oa=1，cdac，pa底面abcd，cdpc，因此pcd是直角三角形综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形故选：d点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）已知抛物线c：y2=4x，点p（m，0），o为坐标原点，若在抛物线c上存在一点q，使得oqp=90，则实数m的取值范围是（）a（4，8）b（4，+）c（0，4）d（8，+）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：求出以op为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线c上存在一点q，使得oqp=90，即可求出实数m的取值范围解答：解：以op为直径的圆的方程为（x）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4m）x=0，x=0或x=m4，在抛物线c上存在一点q，使得oqp=90，m40，m4，故选：b点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础8（5分）设d为不等式组表示的平面区域，点b（a，b）为坐标平面xoy内一点，若对于区域d内的任一点a（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）a2b1c0d3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算 专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：由不等式组作出平面区域d，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值解答：解：由作出平面区域d如图，联立，解得d（1，1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=a+z过r（1，1）时z最大为2故选：a点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）复数，则|z|=1考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：化简已知复数可得z=i，由模长公式可得解答：解：化简可得复数=i|z|=|i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题10（5分）设f1，f2为双曲线c：=1（a0）的左、右焦点，点p为双曲线c上一点，如果|pf1|pf2|=4，那么双曲线c的方程为；离心率为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到解答：解：双曲线c：=1（a0）的b=4，由双曲线的定义，可得，|pf1|pf2|=2a=4，即a=2，c=2则双曲线的方程为，离心率e=故答案为：，点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题11（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z= 2x3yaz考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x，即可求出x+y+z解答：解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=由第一列，可得x=，所以x+y+z=故答案为：点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力12（5分）如图，在abc中，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，且ac=2ae，那么=；a=考点：弦切角 专题：立体几何分析：证明aefacb，可得=，即可得出结论解答：解：由题意，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，aef=c，eaf=cab，aefacb，=，ef=1，故eof=，故b+c=，a=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题13（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14（5分）设p，q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线pq旋转（02）角后能与自身重合，那么符合条件的直线pq有13条考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线pq旋转（02）角后能与自身重合，则pq比过正方体中心，由此分三种情况，即p，q为正方体一体对角线两顶点时，p，q为正方两相对棱中点时，p，q为正方体对面中心时求得符合条件的直线pq的条数解答：解：若正方体绕着直线pq旋转（02）角后能与自身重合，则pq比过正方体中心，否则，正方体绕着直线pq旋转（02）角后，中心不能回到原来的位置共有三种情况：如图，当p，q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕pq旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当p，q为正方两相对棱中点时，把正方体绕pq旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当p，q为正方体对面中心时，把正方体绕pq旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条综上，符合条件的直线pq有4+6+3=13条故答案为：13点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数f（x）=2，xr的部分图象如图所示（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（） 设点b是图象上的最高点，点a是图象与x轴的交点，求tanbao的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：（）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4，解不等式可得单调递增区间；（）过点b作线段bc垂直于x轴于点c由题意得，bc=2，易得要求正切值解答：解：（）化简可得=，由周期公式可得函数f（x）的最小正周期为4，由可解得，函数f（x）的单调递增区间为；（）过点b作线段bc垂直于x轴于点c由题意得，bc=2，点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题16（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概 率（2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概 率pq（）当时，求q的值；（）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（）根据p+q=1解出即可；（）设出各个事件后得，根据，从而求出p的范围；（）分别求出ex，ey在值，通过比较得到结论解答：（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p+q=1（2分）又因为，所以q= （3分）（）解：记事件a为“甲投资股市且盈利”，事件b为 “乙购买基金且盈利”，事件c为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，（4分）则，且a，b独立由上表可知，p（b）=p所以（5分）=（6分）因为，所以（7分）又因为，q0，所以所以（8分）（）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记x为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量x的分布列为：x402p（9分）则10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量y的分布列为：y201p（11分）则（12分）因为exey，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题17（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a底面abcd，bad=90，adbc，且a1a=ab=ad=2bc=2，点e在棱ab上，平面a1ec与棱c1d1相交于点f（）证明：a1f平面b1ce；（）若e是棱ab的中点，求二面角a1ecd的余弦值；（）求三棱锥b1a1ef的体积的最大值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知得平面abcd平面a1b1c1d1，从而a1fec，由此能证明a1f平面b1ce（）以ab，ad，aa1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角a1ecd的余弦值（）过点f作fma1b1于点m，则fm平面a1abb1，由此能求出当f与点d1重合时，三棱锥b1a1ef的体积的最大值为解答：（本小题满分14分）（）证明：因为abcda1b1c1d1是棱柱，所以平面abcd平面a1b1c1d1又因为平面abcd平面a1ecf=ec，平面a1b1c1d1平面a1ecf=a1f，所以a1fec（2分）又因为a1f平面b1ce，ec平面b1ce，所以a1f平面b1ce（4分）（）解：因为aa1底面abcd，bad=90，所以aa1，ab，ad两两垂直，以a为原点，以ab，ad，aa1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系（5分）则a1（0，0，2），e（1，0，0），c（2，1，0），所以 ，设平面a1ecf的法向量为，由，得令z=1，得（7分）又因为平面dec的法向量为，（8分）所以，由图可知，二面角a1ecd的平面角为锐角，所以二面角a1ecd的余弦值为（10分）（）解：过点f作fma1b1于点m，因为平面a1abb1平面a1b1c1d1，fm平面a1b1c1d1，所以fm平面a1abb1，所以（12分）=因为当f与点d1重合时，fm取到最大值2（此时点e与点b重合），所以当f与点d1重合时，三棱锥b1a1ef的体积的最大值为（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力18（13分）已知函数f（x）=ax2bx（a0）和g（x）=lnx的图象有公共点p，且在点p处的切线相同（）若点p的坐标为，求a，b的值；（）已知a=b，求切点p的坐标考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（）设p（s，t），则lns=as2as，f（s）=g（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求p的坐标解答：（）解：由题意，得，且f（x）=2axb，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（）解：若a=b，则f（x）=2axa，设切点坐标为（s，t），其中s0，由题意，得 as2as=lns，由，得 ，其中，代入，得 （*） 因为 ，且s0，所以 设函数 ，则 令f（x）=0，解得x=1或（舍）当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表所示， x （，1） 1（1，+）f（x）+0f（x）极大值所以当x=1时，f（x）取到最大值f（1）=0，且当时f（x）0因此，当且仅当x=1时f（x）=0所以方程（*）有且仅有一解s=1于是t=lns=0，因此切点p的坐标为（1，0）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题19（14分）已知椭圆c：的右焦点为f，右顶点为a，离心率为e，点p（m，0）（m4）满足条件（）求m的值；（）设过点f的直线l与椭圆c相交于m，n两点，记pmf和pnf的面积分别为s1，s2，求证：考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）求出，|fa|=2，|ap|=m4，利用求m的值；（）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明mpf=npf，求出面积，即可得出结论解答：（）解：因为椭圆c的方程为，所以a=4，（2分）则，|fa|=2，|ap|=m4（3分）因为，所以m=8（5分）（）证明：若直线l的斜率不存在，则有s1=s2，|pm|=|pn|，符合题意（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x2），m（x1，y1），n（x2，y2）由得（4k2+3）x216k2x+16k248=0，（7分）可知0恒成立，且 ，（8分）因为 （10分）=，所以mpf=npf（12分）因为pmf和pnf的面积分别为，（13分）所以（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公