高中数学 第一章立体几何初步章末测评 北师大版必修2.doc

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是() a.是棱台b.是圆台c.是棱锥d.不是棱柱答案:c2.如图所示,oab是水平放置的oab的直观图,则oab的面积是()a.6b.3c.6d.12解析:oab是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案:d3.若三个球的半径之比是123,则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()a.4倍b.3倍c.2倍d.1倍解析:设三个球的半径依次为a,2a,3a,v最大=(3a)3=36a3,v1+v2=a3+(2a)3=a3=12a3,=3.答案:b4.若一个圆台的上、下底面半径和高的比为144,圆台的侧面积为400,则该圆台的母线长为()a.10b.20c.12d.24解析:设圆台上底面半径为r,则下底面半径、高分别为4r,4r,于是其母线l=5r,又侧面积为400,所以(r+4r)5r=400,解得r=4,于是母线长为20.答案:b5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()a.2b.c.2d.1解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为21=2,宽为1,s=21=2.故选a.答案:a6.(2015安徽高考,理7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()a.1+b.2+c.1+2d.2解析:该四面体的直观图如图所示,平面abd平面bcd,abd与bcd为全等的等腰直角三角形,ab=ad=bc=cd=.取bd的中点o,连接ao,co,则aoco,ao=co=1,由勾股定理得ac=,因此abc与acd为全等的正三角形,由三角形面积公式得,sabc=sacd=,sabd=sbcd=1,所以四面体的表面积为2+.答案:b7.导学号62180085如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,若点e为a1c1上的一点,则直线ce一定垂直于()a.acb.bdc.a1dd.a1d1解析:连接ac,由于bdac,bdaa1,acaa1=a,所以bd平面acc1a1.又因为ce平面acc1a1,所以cebd.答案:b8.已知平面平面,=l,则下列命题错误的是()a.如果直线a,那么直线a必垂直于平面内的无数条直线b.如果直线a,那么直线a不可能与平面平行c.如果直线a,al,那么直线a平面d.平面内一定存在无数条直线垂直于平面内的所有直线解析:a选项中直线a必定与平面内无数条平行直线垂直,故正确;b选项中如果a,al,则a,故错误;由面面垂直的性质定理可知c选项正确;在平面内,垂直于交线l的直线,都垂直于平面,也就垂直于平面内的所有直线,故d选项正确.答案:b9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()a.b.16c.9d.解析:由图知,r2=(4-r)2+2,r2=16-8r+r2+2,r=,s表=4r2=4,选a.答案:a10.设,是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法:若l,则l若l,则l若l,则l若l,则l其中说法正确的个数为()a.1b.2c.3d.0解析:对于,若l,则l或l,故错误;对于,若l,则l或l,故错误;对于,若l,则l,故正确;对于,若l,则l或l或l或l与斜交,故错误.答案:a11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()a.1b.2c.3d.4解析:由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱a1b1c1-abc,且ab=8,bc=6,bb1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面a1b1ba,bcc1b1,acc1a1相切,故此时球的半径与abc内切圆的半径相等,故半径r=2.故选b.答案:b12.如图所示,在棱长均相等的三棱锥p-abc中,d,e,f分别是ab,bc,ca的中点,下面四个结论不成立的是()a.bc平面pdfb.df平面paec.平面pdf平面paed.平面pde平面abc解析:由bcdf,易得bc平面pdf,a成立;易证bc平面pae,bcdf,所以结论b,c均成立;点p在底面abc上的射影为abc的中心,不在中位线de上,故结论d不成立.答案:d二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.一水平放置的平面图形oabc,用斜二测画法画出它的直观图oabc如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形oabc的面积为.解析:利用原平面图形面积s与直观图的面积s之间的换算关系s=2s.由已知条件知,原平面图形的直观图是一个边长为2的正方形,则s=22=4,故原平面图形oabc的面积s=2s=24=8.答案:814.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.解析:根据题意得底面正六边形面积为6,设六棱锥的高为h,则v=sh,6h=2,解得h=1.设侧面高为h,则h2+()2=h2,h=2.正六棱锥的侧面积为622=12.答案:1215.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是棱c1d1,c1c的中点,给出以下四个结论:直线am与直线c1c相交直线am与直线bn平行直线am与直线dd1异面直线bn与直线mb1异面其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析:am与c1c异面,故错;am与bn异面,故错.易知正确.答案:16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1,s2,体积分别为v1,v2,若它们的侧面积相等,且,则的值是.解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2r1h1=2r2h2,.又,所以,则.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示,四边形bcc1b1是圆柱的轴截面.aa1是圆柱的一条母线,已知ab=2,ac=2,aa1=3.(1)求证:acba1;(2)求圆柱的侧面积.解:(1)依题意abac.因为aa1平面abc,所以aa1ac.又abaa1=a,所以ac平面aa1b1b.因为ba1平面aa1b1b,所以acba1.(2)在rtabc中,ab=2,ac=2,bac=90,所以bc=2.s侧=23=6.18.(本小题满分12分)已知圆锥的表面积是它内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比.解:过圆锥的轴作截面,截圆锥和内切球分别得sab和球的大圆o,且o为sab的内切圆,如图所示.设圆锥底面半径为r,母线长为l,内切圆半径为r,则s圆锥表=r2+rl,s球=4r2,r2+rl=8r2.又soesao1,.由得r2=r2,代入得r2+rl=8r2,解得l=3r,=3,圆锥侧面积与底面积之比为31.19.导学号62180086(本小题满分12分)四面体abcd及其三视图如图所示,平行于棱ad,bc的平面分别交四面体的棱ab,bd,dc,ca于点e,f,g,h.(1)求四面体abcd的体积;(2)证明:四边形efgh是矩形.(1)解:由该四面体的三视图可知,bddc,bdad,addc,bd=dc=2,ad=1,ad平面bdc.四面体体积v=221=.(2)证明:bc平面efgh,平面efgh平面bdc=fg,平面efgh平面abc=eh,bcfg,bceh.fgeh.同理efad,hgad,efhg.四边形efgh是平行四边形.又ad平面bdc,adbc.effg.四边形efgh是矩形.20.(本小题满分12分)(2015山东高考,文18)如图,三棱台def-abc中,ab=2de,g,h分别为ac,bc的中点.(1)求证:bd平面fgh;(2)若cfbc,abbc,求证:平面bcd平面egh.(1)证法一:连接dg,cd,设cdgf=m.连接mh.在三棱台def-abc中,ab=2de,g为ac的中点,可得dfgc,df=gc,所以四边形dfcg为平行四边形.则m为cd的中点.又h为bc的中点,所以hmbd,又hm平面fgh,bd平面fgh,所以bd平面fgh.证法二:在三棱台def-abc中,由bc=2ef,h为bc的中点,可得bhef,bh=ef,所以四边形hbef为平行四边形,可得behf.在abc中,g为ac的中点,h为bc的中点,所以ghab.又ghhf=h,所以平面fgh平面abed.因为bd平面abed,所以bd平面fgh.(2)证明:连接he.因为g,h分别为ac,bc的中点,所以ghab.由abbc,得ghbc.又h为bc的中点,所以efhc,ef=hc,因此四边形efch是平行四边形.所以cfhe,又cfbc,所以hebc.又he,gh平面egh,hegh=h,所以bc平面egh.又bc平面bcd,所以平面bcd平面egh.21.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形abcd是正方形,ma平面abcd,pdma,e,g,f分别为mb,pb,pc的中点,且ad=pd=2ma.(1)求证:平面efg平面pdc;(2)求三棱锥p-mab与四棱锥p-abcd的体积之比.(1)证明:由已知ma平面abcd,pdma,所以pd平面abcd.又bc平面abcd,所以pdbc.因为四边形abcd为正方形,所以bcdc.又pddc=d,因此bc平面pdc.在pbc中,因为g,f分别为pb,pc的中点,所以gfbc,因此gf平面pdc.又gf平面efg,所以平面efg平面pdc.(2)解:因为pd平面abcd,四边形abcd为正方形,不妨设ma=1,则pd=ad=2,所以vp-abcd=s正方形abcdpd=.因为da平面mab,且pdma,所以da即为点p到平面mab的距离,所以三棱锥vp-mab=2=,所以vp-mabvp-abcd=14.22.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形abb1a1和acc1a1都为矩形.(1)若acbc,证明:直线bc平面acc1a1;(2)设d,e分别是线段bc,cc1的中点,在线段ab上是否存在一点m,使直线de平面a1mc?请证明你的结论.解:(1)因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形,所以aa1ab,aa1ac.因为ab,ac为平面abc内两条相交直线,所以aa1平面abc.因为直线bc平面abc,所以aa1bc.又由已知,acbc,aa1,ac为平面ac