高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.32.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2.doc

2.3.32.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课后训练案巩固提升a组1.如图,在rtacb中,acb=90,直线l过点a且垂直于平面abc,动点pl,当点p逐渐远离点a时,pcb的大小()a.变大b.变小c.不变d.有时变大有时变小解析:bcca,l平面abc,bcl,bc平面acp,bccp,pcb=90,故选c.答案:c2.如图所示,在正四面体p-abc中,d,e,f分别是ab,bc,ca的中点,下面四个结论不成立的是()a.bc平面pdfb.df平面paec.平面pdf平面abcd.平面pae平面abc解析:由题意知bcdf,bc平面pdf.p-abc为正四面体,bcpa,aebc.bc平面pae,df平面pae.df平面abc,平面pae平面abc.答案:c3.(2016山西太原高二期中)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是bc1,cd1的中点,则下列说法错误的是()a.mn与cc1垂直b.mn与ac垂直c.mn与bd平行d.mn与a1b1平行解析:如图,连接c1d,bd,在c1db中,mnbd,故c正确;cc1平面abcd,cc1bd,mn与cc1垂直,故a正确;acbd,mnbd,mn与ac垂直,b正确;a1b1与bd异面,mnbd,mn与a1b1不可能平行,d错误.故选d.答案:d4.如图所示,已知六棱锥p-abcdef的底面是正六边形,pa平面abc,pa=2ab,则下列结论正确的是()a.pbadb.平面pab平面pbcc.直线bc平面paed.直线pd与平面abc所成的角为45解析:pa平面abc,adp是直线pd与平面abc所成的角.六边形abcdef是正六边形,ad=2ab,即tanadp=1,直线pd与平面abc所成的角为45,选d.答案:d5.如图所示,沿直角三角形abc的中位线de将平面ade折起,使得平面ade平面bcde,得到四棱锥a-bcde.则平面abc与平面acd的关系是.解析:adde,平面ade平面bcde,且平面ade平面bcde=de,ad平面bcde.又bc平面bcde,adbc.bccd,cdad=d,bc平面acd,又bc平面abc,平面abc平面acd.答案:平面abc平面acd6.导学号96640063将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a-bd-c,有如下三个结论.acbd;acd是等边三角形;ab与平面bcd成60的角.说法正确的命题序号是.解析:如图所示,取bd中点e,连接ae,ce,则bdae,bdce,而aece=e,bd平面aec.又ac平面aec,acbd,故正确.设正方形的边长为a,则ae=ce=a.由知aec=90是直二面角a-bd-c的平面角,且aec=90,ac=a,acd是等边三角形,故正确.由题意及知,ae平面bcd,则abe是ab与平面bcd所成的角,而abe=45,故不正确.答案:7.如图所示,平面abc平面abd,acb=90,ca=cb,abd是正三角形,则二面角c-bd-a的平面角的正切值为.解析:过c点作coab,垂足为o,作ohbd,垂足为h,连接ch.平面abc平面abd,交线为ab,co平面abd,cobd.又ohbd,ohco=o,bd平面coh,bdch.cho为二面角c-bd-a的平面角.设ca=cb=a,则ab=bd=ad=a,co=a.oh=a=a.tancho=.答案:8.(2015北京高考)如图,在三棱锥v-abc中,平面vab平面abc,vab为等边三角形,acbc,且ac=bc=,o,m分别为ab,va的中点.(1)求证:vb平面moc;(2)求证:平面moc平面vab;(3)求三棱锥v-abc的体积.(1)证明:因为o,m分别为ab,va的中点,所以omvb.又因为vb平面moc,om平面moc,所以vb平面moc.(2)证明:因为ac=bc,o为ab的中点,所以ocab.又因为平面vab平面abc,且oc平面abc,所以oc平面vab,所以平面moc平面vab.(3)解:在等腰直角三角形acb中,ac=bc=,所以ab=2,oc=1.所以等边三角形vab的面积svab=.又因为oc平面vab,所以三棱锥c-vab的体积等于ocsvab=.又因为三棱锥v-abc的体积与三棱锥c-vab的体积相等,所以三棱锥v-abc的体积为.9.(2016山西大同一中高二月考)如图,在三棱锥a-bcd中,ao平面bcd;o,e分别是bd,bc的中点,ca=cb=cd=bd=2,ab=ad=.(1)求异面直线ab与cd所成角的余弦值;(2)求点e到平面acd的距离.解:(1)取ac的中点m,连接om,me,oe.由e为bc的中点知meab,oedc,直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角.在ome中,em=ab=,oe=dc=1.om是rtaoc斜边ac上的中线,om=ac=1,cosoem=.(2)设点e到平面acd的距离为h.ve-acd=va-cde,hsacd=aoscde.在acd中,ca=cd=2,ad=,sacd=,而ao=1,scde=22=,h=,点e到平面acd的距离为.b组1.(2016河北唐山高二期中)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,o是底面正方形abcd的中心,m是d1d的中点,n是a1b1上的动点,则直线no,am的位置关系是()a.平行b.相交c.异面垂直d.异面不垂直解析:在正方体abcd-a1b1c1d1中,o是底面正方形abcd的中心,m是d1d的中点,n是a1b1上的动点,连接a1o,b1o,易证am平面a1b1o,所以直线noam,且no,am为异面直线.故选c.答案:c2.(2016山西太原五中高二月考)已知在矩形abcd中,ab=2,bc=a,pa平面abcd,若在bc上存在点q满足pqdq,则a的最小值是()a.1b.c.2d.4解析:假设在bc边上存在点q,使得pqqd.因为pa平面abcd,所以paqd.又pqqd,所以qd平面apq,则qdaq,即aqd=90,易得abqqcd.如图,设bq=x,所以有x(a-x)=8,即x2-ax+8=0,所以当=a2-320时,方程有解.因此,当a4时,存在符合条件的点q,所以a的最小值是4.故选d.答案:d3.如图所示,以等腰直角三角形abc斜边bc上的高ad为折痕,使abd和acd折成互相垂直的两个平面,则:(1)bd与cd的关系为;(2)bac=.解析:(1)ab=ac,adbc,bdad,cdad,bdc为二面角的平面角,bdc=90,bddc.(2)设等腰直角三角形的直角边长为a,则斜边长为a.bd=cd=a.折叠后bc=a.折叠后abc为等边三角形.bac=60.答案:(1)垂直(2)604.在正方体abcd-abcd中,过对角线bd的一个平面交aa于e,交cc于f,则:四边形bfde一定是平行四边形;四边形bfde有可能是正方形;四边形bfde在底面abcd内的投影一定是正方形;平面bfde有可能垂直于平面bbd.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的序号)解析:如图所示:be=fd,ed=bf,四边形bfde为平行四边形.正确.不正确(四边形bfde有可能是矩形).正确(其射影是正方形abcd).正确.当e,f分别是aa,cc中点时正确.答案:5.(2016广东河源高二期中)如图,四棱锥s-abcd的底面为正方形,sd底面abcd,给出下列结论:acsb;ab平面scd;sa与平面abd所成的角等于sc与平面abd所成的角;acso;ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角,其中正确结论的序号是.解析:连接so,如图.四棱锥s-abcd的底面为正方形,acbd,ab=ad=bc=cd,ac=bd.sd底面abcd,sdac.sdbd=d,ac平面sbd.sb平面sbd,acsb,则正确.abcd,ab平面scd,cd平面scd,ab平面scd,则正确.sd底面abcd,sad和scd分别是sa与平面abd所成的角、sc与平面abd所成的角.ad=cd,sd=sd,sad=scd,则正确.ac平面sbd,so平面sbd,acso,则正确.abcd,scd是ab与sc所成的角,sab是dc与sa所成的角,sdasdc,sa=sc.ab=cd,sbsd,scdsab,则不正确.答案:6.(2015陕西高考)如图,在直角梯形abcd中,adbc,bad=,ab=bc=ad=a,e是ad的中点,o是ac与be的交点.将abe沿be折起到图中a1be的位置,得到四棱锥a1-bcde.(1)证明:cd平面a1oc;(2)当平面a1be平面bcde时,四棱锥a1-bcde的体积为36,求a的值.(1)证明:在题图中,因为ab=bc=ad=a,e是ad的中点,bad=,所以beac.即在题图中,bea1o,beoc,从而be平面a1oc,又cdbe,所以cd平面a1oc.(2)解:由已知,平面a1be平面bcde,且平面a1be平面bcde=be,又由(1),a1obe,所以a1o平面bcde,即a1o是四棱锥a1-bcde的高.由题图知,a1o=ab=a,平行四边形bcde的面积s=bcab=a2.从而四棱锥a1-bcde的体积为v=sa1o=a2a=a3,由a3=36,得a=6.7.导学号96640064(2014四川高考)在如图所示的多面体中,四边形abb1a1和acc1a1都为矩形.(1)若acbc,证明:直线bc平面acc1a1;(2)设d,e分别是线段bc,cc1的中点,在线段ab上是否存在一点m,使直线de平面a1mc?请证明你的结论.解:(1)因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形,所以aa1ab,aa1ac.因为ab,ac为平面abc内两条相交直线,所以aa1平面abc.因为直线bc平面abc,所以aa1bc.又由已知,acbc,aa1,ac为平面acc1a1内两条相交直线