吉林省东北师大附中高三数学上学期第一次摸底考试试题 文（含解析）新人教A版.doc

吉林省东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题（解析版）试卷满分：150分考试时间：120分钟【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第i卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】（1）设集合m=,n=,则如图所示的venn图的阴影部分所表示的集合为(a)0(b)0,1(c)0,1(d)-1,1【知识点】交集及其运算.a1 【答案解析】b 解析：m= ，n= ，则【思路点拨】先把集合化简，再求交集即可。【题文】(2)“”是“”成立的（a）充分必要条件（b）必要不充分条件（c）充分不必要条件（d）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件.a2 【答案解析】c 解析：由解得，但不能推出，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故选c.【思路点拨】先解出，再做出双向判断即可。【题文】（3）函数的定义域为（a）-2,2(b)(0,2(c)(0,1)(1,2)(d)(0,1)(1,2【知识点】函数的定义域。b1 【答案解析】c 解析：由题意可知满足：，解得其定义域为(0,1)(1,2)，故选c.【思路点拨】由题意列出不等式组即可。【题文】(4)下列命题中，真命题是（a）（b）（c）（d）【知识点】命题的真假的判断.a2 【答案解析】a 解析： 为真命题；易知b,c,d为假命题，故选a.【思路点拨】利用指数函数以及对数函数的性质即可判断。【题文】（5）“”是“”的（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件a2 【答案解析】a 解析：由得：当a0时，有1a，即a1；当a0时，不等式恒成立所以a1或a0，从而a1是的充分不必要条件故应选：a【思路点拨】可以把不等式“”变形解出a的取值范围，然后再作判断，具体地说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a0，a0两类讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法【题文】（6）若，则下列不等式成立的是（a）（b）（c）（d）【知识点】不等式的基本性质e1 【答案解析】c 解析：b=，a=，则ab=，b2=，故a不正确；a2=，ab=，故d不正确；log=2，log=1，故b不正确；0ba1，21，2b2a2，故选：c【思路点拨】取特殊值，确定a，b，d不正确，0ba1，21，利用指数函数的单调性，可得c正确【题文】（7）如图，已知直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕o匀速旋转（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是 (a) (b) (c) (d)【知识点】直线与圆相交的性质h4 【答案解析】b 解析：观察可知面积s变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知d符合要求，故选b【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。【题文】(8)定积分的值为(a) (b) (c) (d)【知识点】定积分b13 【答案解析】a 解析：dx=ln2ln1+=故选：a【思路点拨】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案【题文】（9）偶函数的定义域为r，为奇函数，且，则（a）0 （b）1（c）-1（d）2014【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值b4 【答案解析】b 解析：g（x）是奇函数，g（x）=f（x1）=g（x）=f（x1）；又f（x）是偶函数，f（x+1）=f（x1），即f（x1）=f（x+1），f（x）=f（x+2）=f（x+4）f（x）是周期为4的周期函数；f（2014）=f（2+5034）=f（2）=g（3）=1故选b【思路点拨】根据g（x）是奇函数及已知条件得到f（x+1）=f（x1），即f（x1）=f（x+1），所以f（x）=f（x+2）=f（x+4），所以函数f（x）的周期是4，所以f（2014）=f（2+5034）=f（2），所以根据已知条件求f（2）即可【题文】（10）函数在处有极值10，则点的坐标为（a）（b） （c）或 （d）不存在【知识点】函数在某点取得极值的条件b12 【答案解析】b 解析：对函数f（x）求导得 f（x）=3x22axb，又在x=1时f（x）有极值10，解得 或 ，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故选b【思路点拨】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 解之即可求出a和b的值【题文】（11）若-1,1,则实数t的取值范围是（a）-1,0（b）,0 （c） （d）,【知识点】集合的包含关系判断及应用a1 【答案解析】a 解析：令f（x）=|x2tx+t|，1，1x|x2tx+t|1，|f（1）|1，|f（1）|1，即|1+2t|1，解得：1t0，实数t的取值范围是1，0，故选：a【思路点拨】令f（x）=|x2tx+t|，依题意可得|f（1）|1，|f（1）|1，解之即可【题文】（12）x表示不超过x的最大整数，函数的定义域为r；的值域为0，1）； 是偶函数； 不是周期函数；的单调增区间为.上面结论中正确的个数是（a）3（b）2（c）1（d）0【知识点】函数解析式的求解及常用方法b1 【答案解析】c 解析：f（x）=|x|x，函数的定义域为rf（x+1）=|x+1|x+1=|x+1|x1=|x|x=f（x），f（x）=|x|x在r上为周期是1的函数当0x1时，f（x）=|x|x=|x|0=|x|，函数x的值域为0，1），函数y=|x|x为非奇非偶函数，函数y=|x|x在区间（0，1）上为增函数，f（x）的单调增区间为（k，k+1）（kn）故正确，故选：c【思路点拨】根据已知中x表示不超过x的最大整数，我们可以分别求出函数y=|x|x的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的个结论，即可得到答案二、填空题：本大题4小题，每小题5分.【题文】（13）设函数若，则a的值为_；【知识点】函数的值b1 【答案解析】-5 解析：数f（x）=，f（f（1）=2，f（1）=2e11=2，f（f（1）=f（2）=log3（4a）=2，4a=9，解得a=5故答案为：5【思路点拨】由已知得f（1）=2e11=2，从而f（f（1）=f（2）=log3（4a）=2，由此能求出a的值【题文】（14）函数恰好有两个零点，则的值为_【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性b12 【答案解析】2或-2 解析：f（x）=x33x+m，f（x）=3x23，由f（x）0，得x1或x1，此时函数单调递增，由f（x）0，得1x1，此时函数单调递减即当x=1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值要使函数f（x）=x33x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由极大值f（1）=1+3+m=m+2=0，解得m=2；再由极小值f（1）=13+m=m2=0，解得m=2综上实数m的取值范围：m=2或m=2，故答案为：2或2【思路点拨】若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论【题文】（15）函数是定义在(0,4)上的减函数，且，则a的取值范围是_.【知识点】函数单调性的性质b3 【答案解析】（-1,0）（1,2） 解析：根据已知条件，原不等式变成，解得1a0，或1a2；a的取值范围是（1，0）（1，2）故答案为：（1，0）（1，2）【思路点拨】因为f（x）是定义在（0，4）上的减函数，所以由f（a2a）f（2）得，解该不等式组即得a的取值范围【题文】（16）已知函数是定义在r上的奇函数，当时，对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是_.【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质b4 【答案解析】（） 解析：当x0时，f（x）=x2函数是奇函数，当x0时，f（x）=x2f（x）=，f（x）在r上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，x+tx在t，t+2恒成立，即：x（1+）t在t，t+2恒成立，t+2（1+）t，解得：t，故答案为：，+）【思路点拨】由当x0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x0时，f（x）=x2，从而f（x）在r上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，可得x+tx在t，t+2恒成立，即可得出答案三、解答题（解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）【题文】（17）（本题满分10分）已知函数（1）当a=0时，画出函数的简图，并指出的单调递减区间；（2）若函数有4个零点，求的取值范围.【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法b8 b9 【答案解析】（1）见解析；（2）1a0解析：（1）当a=0时，由图可知，f（x）的单调递减区间为（，1）和（0，1）（2）由f（x）=0，得x22|x|=a，曲线y=x22|x|与直线y=a有4个不同交点，根据（1）中图象得1a0【思路点拨】（1）当a=0时，将函数转化为分段函数，进行化图；（2）根据f（x）有4个零点，结合图象确定a的取值范围【题文】（18）（本题满分12分）已知直线为曲线在点（1,0）处的切点，直线为该曲线的另一条切线，且的斜率为1.（i）求直线、的方程；（ii）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标b12 【答案解析】（）y=4x4，y=x2；（）解析：（）求得f（x）=3x2+1（1，0）在曲线上，直线l1的斜率为k1=f（1）=4所以直线l1的方程为y=4（x1）即y=4x4设直线l2过曲线f（x）上的点p（x0，y0），则直线l2的斜率为k2=f（x0）=3x02+1=1解得x0=0，y0=x03+x02=2即p（0，2）l2的方程y=x2（）直线l1、l2的交点坐标为直线l1、l2和x轴的交点分别为（1，0）和（2，0）所以所求的三角形面积为【思路点拨】（）求出f（x），把x=1代入导函数即可求出直线l1的斜率，然后根据斜率和（1，0）写出直线l1的方程即可；设直线l2与曲线相切的切点坐标，将横坐标代入导函数即可表示出直线l2的斜率，又l2的斜率为1，列出关于横坐标的方程，求出解得到切点的横坐标，代入f（x）中求得纵坐标，然后根据切点坐标和直线的斜率为1写出直线l2的方程即可；（）联立两条直线方程求出交点坐标，然后分别求出两直线与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0），三角形以|21|长为底，交点的纵坐标|为高，根据三角形的面积公式即可求出面积【题文】（19）（本题满分12分）某旅游景点经营者欲增加景点服务设施以提高旅游增加值.经过调研发现，在控制投入成本的前提下，旅游增加值（万元）与投入成本（万元）之间满足：，其中实数为常数，且当投入成本为10万元时，旅游增加值为9.2万元.（i）求实数的值；（ii）当投入成本为多少万元时，旅游增加值去的最大值.【知识点】函数模型的选择与应用b10 【答案解析】（i）a=；（ii） 投入50万元改造时旅游取得最大增加值解析：（i）由于当x=10万元时y=9.2万元，因此，9.2a102+10ln10+ln10，解得a=；（ii）从而f（x）=+xlnx+ln10（10x100），f（x）=，令f（x）=0，可得 x=1，或 x=50当x（1，50）时，f（x）0，且f（x）在（1，50）上连续，因此f（x）在（1，50上是增函数；当x（50，+）时，f（x）0，且f（x）在（50，+）上连续，因此f（x）在（50，+）上是减函数则x=50时，函数f（x）取得极大值，即投入50万元改造时旅游取得最大增加值【思路点拨】（i）代入x=10万元时y=9.2万元，可得9.2a102+10ln10+ln10，从而求a；（ii）求导f（x）=，判断函数的单调性从而求其最大值【题文】（20）（本题满分12分）已知函数，当时取得极值5.（i）求的极小值；（ii）对任意，判断不等式是否能恒成立，并说明理由.【知识点】利用导数研究函数的极值b12 【答案解析】（）-27；（） 不等式|f（x1）f（x2）|32能恒成立 解析：（）函数f（x）=ax3+bx29x（a0）的导数f（x）=3ax2+2bx9，当x=1时f（x）取得极值5，则有f（1）=5且f（1）=0，即有a+b+9=5且3a2b9=0，解得a=1，b=3则f（x）=x33x29x，f（x）=3x26x9，f（x）0得，x3或x1；f（x）0得，1x3则f（x）在x=3处取极小值且为272727=27（）由于任意x1，x2（3，3），|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min，由（）可知f（x）在（3，1）上递增，（1，3）上递减，则x=1取得最大值，且为5，f（3）=f（3）=27，由于任意x1，x2（3，3），则|f（x1）f（x2）|5（27）=32，故对任意x1，x2（3，3），不等式|f（x1）f（x2）|32能恒成立【思路点拨】（）f（x）是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）=0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b的值，进而得到极小值；（）分别求出端点值和极值，通过比较即可的出结论由中求得的函数的单调区间可得函数f（x）在区间（3，3）上单调性，求出最大值和最小值，从而得到对任意x1，x2（3，3），不等式|f（x1）f（x2）|32恒成立【题文】（21）（本题满分12分）已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其离心率，短轴长为4.（i）求椭圆c的标准方程；（ii）已知直线和椭圆c相交于a、b两点，点q（1,1），是否存在实数m，使abq的面积s最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题h8 【答案解析】（）（）3 解析：（）由题意可设椭圆c的方程为，又e=，2b=4，a2=b2+c2，解得a=3，b=2故椭圆c的方程为（）设直线l：y=x+mmr和椭圆c相交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点联立方程得，消去y得，13x2+18mx+9m236=0上式有两个不同的实数根，=324m24139（m24）=144（13m2）0且，ab=点q（1，1）到l：y=x+m的距离为abq的面积s=3当且仅当13m2=m2，即m=时，s取得最大值，最大值为3【思路点拨】（）由题意可设椭圆c的方程为，又e=，2b=4，由此能求出椭圆c的方程（）设直线l：y=x+mmr和椭圆c相交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点联立方程，得13x2+18mx+9m236=0由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出当m=时，s取得最大值3【题文】（22）（本题满分12分）已知函数.（i）求出函数的单调区间；（ii）当时，已知，且，求证：【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质b12 【答案解析】（i）（1，+）为函数的单调减区间；（，1）为函数的单调减区间；（ii）见解析。 解析：（i），令f（x