吉林省东北师范大学附属中学高中数学 空间向量与运算复习小结 理 新人教A版选修21.doc

课题：空间向量与运算复习小结课时：10课型：一、复习目标1了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.二知识梳理1求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为,则.（3）二面角：求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；求两个法向量的夹角（或补角）.2求距离_a _ nnmh（1）点m到面的距离（如图）就是斜线段mn在法向量方向上的正投影.由得距离公式： （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.三、双基练习1在空间直角坐标系中，已知点p（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ）点p关于x轴对称点的坐标是p1（x，y，z） 点p关于yoz平面对称点的坐标是p2（x，y，z） 点p关于y轴对称点的坐标是p3（x，y，z） 点p关于原点对称的点的坐标是p4（x，y，z）a.3 b.2 c.1 d.02 直三棱柱a1b1c1abc，bca=90，d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是 （）a b. c d3已知向量a=（1，1，0），b=（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k= _4 已知a（3，2，1）、b（1，0，4），则线段ab的中点坐标和长度分别是 ， .答案提示： 1. c； 2. a； 3. ； 4.（2，1，），dab=四、典例题解析【例1】 【2015全国二卷19（本题满分12分）】如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形dd1c1a1efabcb1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值19（）详见解析；（）解析：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角 【例2】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点m和n分别为的中点.（）求证：平面；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.17（）见解析； （） ； （） .解析：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.（）证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 由此可得，又因为直线平面，所以平面（），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.五、提炼总结以为师1.求线线角、线面角、二面角的方法：2求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：六、同步练习 1.【2015高考】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为.（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线平面（3）求二面角的余弦值.18（1）点f、g、h的位置如图所示.（2）详见解析.（3）解析：（1）点f、g、h的位置如图所示.（2）连结bd，设o为bd的中点.因为m、n分别是bc、gh的中点，所以，且，且，所以，所以是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.（3）连结ac，过m作于p. 在正方形中，所以.过p作于k，连结km，所以平面，从而.所以是二面角的平面角.设，则，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值为.2.【2015山东】如图，在三棱台中，分别为的中点.（）求证：平面；（）若平面， ， ,求平面与平面 所成的角（锐角）的大小.17（）详见解析；（） 分析：（）思路一：连接，设，连接，先证明，从而由直线与平面平行的判定定理得平面；思路二：先证明平面 平面 ，再由平面与平面平行的定义得到平面.（）思路一：连接，设，连接，证明 两两垂直, 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作 于点 ，作 于点 ，连接，证明 即为所求的角，然后在三角形中求解.解析： （）证法一：连接，设，连接，在三棱台中，为的中点可得 所以四边形为平行四边形则为的中点又为的中点所以 又平面 平面所以平面证法二：在三棱台中，由为的中点可得 所以四边形为平行四边形可得 在 中， 为的中点， 为的中点，所以 又 ，所以平面 平面 因为 平面 所以 平面 （）解法一：设 ，则 在三棱台中，为的中点由 ，可得四边形 为平行四边形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中点，所以 因此 两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 所以 可得 故 设 是平面 的一个法向量，则由 可得 可得平面 的一个法向量因为 是平面 的一个法向量，所以