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灌南华侨双语学校20172018学年度第二学期期中考试高二数学试卷(理科)(分值160分, 时间120分钟)一填空题:(70分)1.复数_2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 001频率/组距2. 计算_3. 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在的频率为 (第3题)4. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 5. 从编号为的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为4的样本,若编号为28的产品在此样本中,则这样的样本中产品的最大编号为 6. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差为 7. .已知矩形的长为10,宽为5(如图所示),在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在图中椭圆内的黄豆为560颗,则可以估计图中椭圆部分的面积为 .8. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (填序号)“至少有一个黑球”与“都是黑球”;“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”;“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”;“至少有一个黑球”与“都是红球”9.已知4名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人只选报1项,则不同的报名方法有 种 10.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 (用数字回答) 11. 用数学归纳法证明:,则当时,左端在时的左端加上了 12. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率 . 13.2018年4月18日, 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡实弹演习中,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则编队配置分配方案的方法数为 (用数字作答) 14用数学归纳法证明:“1n(n1)”,由nk(k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项的项数是 .二填空题:(14+14+14+16+16+16)15. 设复数(,是虚数单位),且复数满足,复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数;(2)若为纯虚数(其中),求实数的值.16有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用表示结果,其中表示第1颗出现的点数(面朝下的数字),表示第2颗出现的点数(面朝下的数字).(1)求事件“点数之和不小于4”的概率;(2)求事件“点数之积能被2或3整除”的概率. 17.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:组号分组频数频率第一组230,235)80.16第二组235,240)0.24第三组240,245)15第四组245,250)100.20第五组250,25550.10合 计501.00(1)写出表中位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率18. (本小题满分16分)如图华侨高级中学2016年校园“十佳歌手”大奖赛上,七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.(1)写出评委为乙选手打出分数数据的众数,中位数;甲乙78994 4 4 6 739 7 6 6 43 2(2)求去掉一个最高分和一个最低分后,两位选手所剩数据的平均数和方差,根据结果比较,哪位选手的数据波动小?19.已知数列an满足a1=1,且4an+1anan+1+2an=9(nN*)(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)由(1)猜想an的通项公式,并给出证明 20.是否存在常数a、b,使等式对于一切nN*都成立.灌南华侨双语学校20172018学年度第二学期期中考试高二数学试卷(理科)(分值160分, 时间120分钟)一填空题:(70分)1.复数_【答案】【解析】2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 001频率/组距2. 计算_ 【答案】3. 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在的频率为_ 答案为:0.3 (第3题)4. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 【答案】 5. 从编号为的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为4的样本,若编号为28的产品在此样本中,则这样的样本中产品的最大编号为_【答案】686. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差为_【答案】0.17. .已知矩形的长为10,宽为5(如图所示),在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在图中椭圆内的黄豆为560颗,则可以估计图中椭圆部分的面积为_.【答案】288. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是_(填序号)“至少有一个黑球”与“都是黑球”;“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”;“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”;“至少有一个黑球”与“都是红球”答案为: (3)9.已知4名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人只选报1项,则不同的报名方法有 种 答案为:8110.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 (用数字回答) 答案为:7212. 用数学归纳法证明:,则当时,左端在时的左端加上了 答案为:k21)(k22) (k1)2 12. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率_. 答案为: 13.2018年4月18日, 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡实弹演习中,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则编队配置分配方案的方法数为_(用数字作答) 答案为:3214用数学归纳法证明:“1n(n1)”,由nk(k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项的项数是_.【解析】当nk1时,左边是1增加的是,共有2k112k12k项,故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k二填空题:(14+14+14+16+16+16)15. 设复数(,是虚数单位),且复数满足,复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数;(2)若为纯虚数(其中),求实数的值.试题解析:设,由得:.111.Com又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上,则即. 由联立方程组,解得,或,.由,可得,为纯虚数, 解得. 16有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用表示结果,其中表示第1颗出现的点数(面朝下的数字),表示第2颗出现的点数(面朝下的数字).(1)求事件“点数之和不小于4”的概率;(2)求事件“点数之积能被2或3整除”的概率.解(1)所有的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个“点数之和不小于4”包含的基本事件为(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共13个,所以P(点数之和不小于4)=(2)“点数之积不能被2或3整除”的对立事件只含一个基本事件(1,1)所以P(点数之积能被2或3整除)=答:略 17.(14分)质检部门抽查某批次产品的质量(单位:克),随机检查了其中80件产品,根据样本数据描绘的频率分布直方图如下:(1) 求频率分布直方图中的值;(2) 若质量在5.95,6.95)中的产品才算一级品,求在抽查的样本中一级产品共有多少件?某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:组号分组频数频率第一组230,235)80.16第二组235,240)0.24第三组240,245)15第四组245,250)100.20第五组250,25550.10合 计501.00(1)写出表中位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率【解答】解:(1)由频率分布表,可得位置的数据为50815105=12,位置的数据为00.1=0.3,故位置的数据分别为12、0.3; (2)读表可得,第三、四、五组分别有15、10、5人,共15+10+5=30人,要求从中用分层抽样法抽取6名学生,则第三组参加考核人数为15=3,第四组参加考核人数为10=2,第五组参加考核人数为5=1,故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;(3)设(2)中选取的6人为a、b、c、d、e、f(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情形为:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef共有15种;记“2人中至少有一名是第四组”为事件A,则事件A所含的基本事件的种数有9种所以,故2人中至少有一名是第四组的概率为18. (本小题满分16分)如图华侨高级中学2016年校园“十佳歌手”大奖赛上,七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.(1)写出评委为乙选手打出分数数据的众数,中位数;甲乙78994 4 4 6 739 7 6 6 43 2(2)求去掉一个最高分和一个最低分后,两位选手所剩数据的平均数和方差,根据结果比较,哪位选手的数据波动小?(1)众数为84,中位数84;(2),所以,所以乙的数据波动小.19.已知数列an满足a1=1,且4an+1anan+1+2an=9(nN*)(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)由(1)猜想an的通项公式,并给出证明【解答】解:(1)由4an+1anan+1+2an=9得(第3题),求得(2)猜想证明:当n=1时,猜想成立设当n=k时(kN+)时,猜想成立,即,则当n=k+1时,有,所以当n=k+1时猜想也成立综合,猜想对任何nN+都成立 20.是否存在常数a、b,使等式对于一切nN*都成立.导思:存在性问题先假设存在,然后求出符合条件的量.本题求a、b两个量只需两个等式即可,而已知条件是对于一切nN*都成立,即有无数个等式,只需取两特定n值

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