吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习（4）文（含解析）新人教版必修5 (2).doc

第三章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）aba-b0； （2）ab, bcac；（3）aba+cb+c； （4）ab, c0acbc；（5）ab, c0acb0, cd0acbd;（7）ab0, nn+anbn; （8）ab0, nn+;（9）a0, |x|a-axaxa或xb0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即ab，与ab矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-20，所以x+y，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z，等号当且仅当x=y=z时成立。 二、基础例题1不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明ab或a0）与1比较大小，最后得出结论。例1 设a, b, cr+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2【证明】 左边-右边= x2+y2+z2所以左边右边，不等式成立。例2 若axlog(1-x)(1-x)=1（因为01-x21-x0, 01-x|loga(1-x)|.（2）分析法（了解），即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。例3 已知a, b, cr+，求证：a+b+c-3a+b【证明】 要证a+b+ca+b只需证，因为，所以原不等式成立。例4 已知实数a, b, c满足0abc，求证：【证明】 因为0(n+1)n.【证明】 1）当n=3时，因为34=8164=43，所以命题成立。2）设n=k时有kk+1(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2(k+2)k+1，即1. 因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证(k+1)2k(k+2)，即证k2+2k+1k2+2k. 显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。（4）反证法。例6 设实数a0, a1,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求证ak0(k=1, 2, n-1).【证明】 假设ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2, an-1中第一个出现的正数，则a10, a20, ar-10, ar0. 于是ar-ar-10，依题设ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以从k=r起有an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10.因为anak-1ar+1ar 0与an=0矛盾。故命题获证。（5）分类讨论法。（6）放缩法，即要证ab，可证ac1, c1c2,cn-1cn, cnb(nn+).（放缩法尤为重要）例8 求证：【证明】 ，得证。例9 已知a, b, c是abc的三条边长，m0，求证：【证明】 （因为a+bc），得证。（7）引入参变量法。（引参为消参服务）例10 已知x, yr+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=的最小值。【解】 设，则，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等号当且仅当时成立。所以f(x, y)min=例11 设x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.【证明】 设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有k1, x3x44，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) x2x3x4，因为f(k)=k+在上递减，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)3x2=4x2x2x3x4.所以原不等式成立。（8）局部不等式。例12 已知x, y, zr+，且x2+y2+z2=1，求证：【证明】 先证因为x(1-x2)=,所以同理，所以例13 已知0a, b, c1，求证：2。【证明】 先证 即a+b+c2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bca.因为0a, b, c1，所以式成立。同理三个不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函数的思想。例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。【解】 当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) . 不妨设abc，则0c, f(a, b, c)=因为1=(a+b)c+ab+(a+b)c，解关于a+b的不等式得a+b2(-c).考虑函数g(t)=, g(t)在）上单调递增。又因为0c，所以3c21. 所以c2+a4c2. 所以2所以f(a, b, c)=下证0 c2+6c+99c2+90 因为，所以式成立。所以f(a, b, c) ，所以f(a, b, c)min=三1.不等式的解集为（ ）(a)x|1x2(b) x|1x2(c)x|1x2(d)x|1x2【答案】b4y063x4y28xaz0.9xy【解析】原不等式等价于，解得1x22.）某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( )(a)6(b)5(c)4(d)3【答案】c【解析】设需要甲型卡车x辆，乙型卡车y辆由题意且x、yz运输成本目标函数z0.9xy画出可行域(如图)可知，当目标函数经过a(4,4)时，z最小7.6千元及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。3.把圆c：按向量a=(h，-1)平移后得圆c1，若圆c1在不等式x+y+10所确定的平面区域内，则h的最小值为（ a ） （a）1（b）-1（c）（d）4已知函数的定义域为，部分函数值如表所示，其导函数的