高三数学二轮复习 中档题专练 理.doc

中档题专练建议用时：30分钟12015皖北协作区联考(二)设abc的三内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且b(cosa3cosc)(3ca)cosb.(1)求的值；(2)若cosb，且abc的周长为14，求b的值解(1)由正弦定理得，(cosa3cosc)sinb(3sincsina)cosb，化简可得sin(ab)3sin(bc)又abc，所以sinc3sina，因此.(2)由得c3a，由余弦定理及cosb得b2a2c22accosba29a26a29a2.所以b3a.又abc14，从而a2，因此b6.22015济宁模拟如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，adc60，侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd，cd2，m为pb的中点(1)求证：pa平面cdm；(2)求二面角dmcb的余弦值解(1)证法一：取pa中点n，连接mn，dn，又m为pb的中点，所以mnab，又菱形abcd中abcd，所以mncd，所以c、d、m、n四点共面取dc的中点为o，连接po.因为侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd，所以po底面abcd，因为底面abcd为菱形且adc60，dc2，do1，有oadc，因为poaoo，所以dc平面poa，所以dcpa，在pad中，pdad2，n为pa的中点，所以dnpa，又dndcd，dn平面cdnm，dc平面cdnm，所以pa平面cdnm，即pa平面cdm.证法二：取dc的中点为o，连接po.因为侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd，所以po底面abcd，因为底面abcd为菱形且adc60，dc2，do1，有oadc，以o为原点，分别以oa、oc、op所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则a(，0,0)、p(0,0，)、b(，2,0)、c(0,1,0)、d(0，1，0)m，(，0，)，(0,2,0)，02()0，002()00，pa平面dmc.(2)，(，1,0)设平面bmc的一个法向量n(x，y，z)，n0，得xz0，n0，得xy0，取x1，则y，z1，法向量n(1，1)，由(1)知平面cdm的法向量可取(，0，)，cosn，观察可知二面角dmcb为钝角，所以所求二面角的余弦值是.32015贵州七校联考(一)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为t，其范围为0,10，分别有5个级别：t0,2)畅通；t2,4)基本畅通；t4,6)轻度拥堵；t6,8)中度拥堵；t8,10严重拥堵早高峰时段(t3)，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)据此直方图估算交通指数t4,8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望解(1)由直方图知：t4,8)时交通指数的中位数为51.t4,8)时交通指数的平均数为4.50.25.50.246.50.27.50.164.72.(2)设事件a为“1条路段严重拥堵”，则p(a)0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：pc2c3，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为.(3)由题意，所用时间x的分布列如下表：x30354560p0.10.440.360.1则e(x)300.1350.44450.36600.140.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟中档题专练(二)建议用时：30分钟1若数列xn满足：d(d为常数，nn*)，则称xn为调和数列已知数列an为调和数列，且a11，15.(1)求数列an的通项an；(2)数列的前n项和为sn，是否存在正整数n，使得sn2015？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由解(1)依题意为等差数列，由15得15，即3，公差d1，故n即an.(2)sn121222n2n2sn122(n1)2nn2n1得snn2n1(2222n)(n1)2n12.由于sn是递增的，当n7时s762822112015.所以存在正整数n，使得sn2015，n的取值集合为n|n8，nn*22015广州综合测试(一)袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为，每个球被取到的机会均等现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为x.(1)求袋子中白球的个数；(2)求x的分布列和数学期望解(1)设袋子中有n(nn*)个白球，依题意得，即，化简得，n2n60，解得，n3或n2(舍去)袋子中有3个白球(2)由(1)得，袋子中有4个红球，3个白球x的可能取值为0,1,2,3，p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3).x的分布列为：x0123pe(x)0123.3在abc中，abc90，ab6，bc8，efab，ceeb53，将三角形efc折起，使c在面abc的射影落在b点上(1)若m是bc的中点，在线段ac上找一点h，使mh面abef，试确定h点的位置(2)求点b到面aec的距离(3)若(01)，是否存在，使得平面mae与平面cef所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)取ac中点h，连接mh，则mhab，因为ababef，mh面abef，所以mh面abef，即h为ac中点(2)efcbac，ef，cb4.以b为原点，直线be为x轴，ba直线为y轴，bc直线为z轴建立空间直角坐标系，e(3,0,0)，f，c(0,0,4)，b(0,0,0)，a(0,6,0)，(3,0，4)，(0，6,4)，(0,0,4)，设平面aec的法向量为n(x，y，z)，则有n，n，令y2，则n(4,2,3)，则d.(3)设m(0,0，m)，m4，(0，6，m)，(3，6,0)，设平面aem的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1，n1，则令y11，则n1，(3,0，4)，设平面cef的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n2，n2，则令z23，则n2(4,0,3)，cos，解得m3，存在使得平面mae与平面cef所成的锐二面角的余弦值为.中档题专练(三)建议用时：30分钟1已知在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且tana.(1)求角a的大小；(2)当a时，求c2b2的最大值，并判断此时abc的形状解(1)由已知及余弦定理，得，sina，因为a为锐角，所以a60.(2)解法一：由正弦定理，得2，所以b2sinb，c2sinc2sin(120b)c2b24sin2bsin2(120b)444cos2bsin2b42sin(2b30)由得30b90，所以302b30150，当sin(2b30)1，即b60时，(c2b2)max6，此时c60，abc为等边三角形解法二：由余弦定理得()2b2c22bccos60b2c2bc3.而bc(当且仅当bc时取等号)，则3，即b2c26(当且仅当bc时取等号)故c2b2的最大值为6，此时abc为等边三角形22015漳州八校联考(三)我国政府对pm2.5采用如下标准：pm2.5日均值m(微克/立方米)空气质量等级m75超标某市环保局从180天的市区pm2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)求这10天数据的中位数；(2)从这10天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；(3)以这10天的pm2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级解(1)10天的中位数为(3844)/241(微克/立方米)(2)由n10，m4，n3，的可能值为0,1,2,3利用p(k)(k0,1,2,3)即得分布列：0123p(3)一年中每天空气质量达到一级的概率为，由b，得到e()18072(天)，一年中空气质量达到一级的天数为72天32015广州综合测试(一)如图1，在边长为4的菱形abcd中，dab60，点e，f分别是边cd，cb的中点，acefo，沿ef将cef翻折到pef，连接pa，pb，pd，得到如下图2的五棱锥pabfed，且pb.(1)求证：bd平面poa；(2)求二面角bapo的正切值解(1)证明：点e，f分别是边cd，cb的中点，bdef.菱形abcd的对角线互相垂直，bdac.efac.efao，efpo.ao平面poa，po平面poa，aopoo，ef平面poa.bd平面poa.(2)解法一：设aobdh，连接bo，dab60，abd为等边三角形bd4，bh2，ha2，hopo.在rtbho中，bo，在pbo中，bo2po210pb2，pobo.poef，efboo，ef平面bfed，bo平面bfed，po平面bfed.过h作hgap，垂足为g，连接bg，由(1)知bh平面poa，且ap平面poa，bhap.hgbhh，hg平面bhg，bh平面bhg，ap平面bhg.bg平面bhg，apbg.bgh为二面角bapo的平面角在rtpoa中，ap，在rtpoa和rthga中，poahga90，paohag，rtpoarthga.hg.在rtbhg中，tanbgh.二面角bapo的正切值为.解法二：设aobdh，连接bo，dab60，abd为等边三角形bd4，bh2，ha2，hopo.在rtbho中，bo，在pbo中，bo2po210pb2，pobo.poef，efboo，ef平面bfed，bo平面bfed，po平面bfed.以o为原点，of所在直线为x轴，ao所在直线为y轴，op所在直线为z轴，建立空间直角坐标系oxyz，则a，b(2，0)，p(0,0，)，h(0，0)(0,3，)，(2,2，0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，由n，n，得令y1，得z3，x.平面pab的一个法向量为n(，1，3)由(1)知平面pao的一个法向量为(2,0,0)，设二面角bapo的平面角为，且为锐角则cos.sin，tan.二面角bapo的正切值为.中档题专练(四)建议用时：30分钟12015课标全国卷sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4sn3，可知a2an14sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为tn，则tnb1b2bn.22015洛阳统考在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数5182826176(1)求抽取的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布n(，2)(其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：12.7，若zn(，2)，则p(z)0.6826，p(2z82.7)0.1587，所以能进入复试的人数为20000.1587317.(3)显然的取值为1,2,3，p(1)，p(2)，p(3)，的分布列为123p所以e()1232.3如图，ab是半圆o的直径，c是半圆o上除a、b外的一个动点，dc垂直于半圆o所在的平面，dceb，dceb，ab4，taneab.(1)证明：平面ade平面acd；(2)当三棱锥cade体积最大时，求二面角daeb的余弦值解(1)证明：因为ab是直径，所以bcac，因为cd平面abc，所以cdbc，因为cdacc，所以bc平面acd，因为cdbe，cdbe，所以bcde是平行四边形，bcde，所以de平面acd，因为de平面ade，所以平面ade平面acd，(2)依题意，ebabtaneab41，由(1)知vcadeveacdsacddeaccddeacbc(ac2bc2)ab2，当且仅当acbc2时等号成立如图所示，建立空间直角坐标系，则d(0,0,1)，e(0,2，1)，a(2，0,0)，b(0,2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(0，2，0)，(2，0，1)，设面dae的法向量为n1(x，y，z)，即n1(1,0,2)，设面abe的法向量为n2(x，y，z)，即n2(1,1,0)，cosn1，n2.因为n1，n2与二面角daeb的平面角互补，所以二面角daeb的余弦值为.中档题专练(五)建议用时：30分钟1已知abc的角a，b，c的对边依次为a，b，c，若满足tanatanbtanatanb，(1)求c大小；(2)若c2，且abc为锐角三角形，求ab取值范围解(1)tanatanbtanatanb，则tanatanb(tanatanb1)，tan(ab)，tanc，c.(2)，ab(sinasinb)4sin，abc为锐角三角形，aa，25.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件a为“乙比甲先解答完此道题”，则满足的区域为xy，由几何概型的概率计算公式得p(a)，即乙比甲先解答完的概率为.(3)x的可能取值为0,1,2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有c28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有c15种；恰有一人被抽到有cc12种；2人都被抽到有c1种，p(x0)，p(x1)，p(x2)，x的分布列为：x012pe(x)012.中档题专练(六)建议用时：30分钟12015天津高考已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nn*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nn*，求数列bn的前n项和解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)又因为q1，故a3a22，由a3a1q，得q2.当n2k1(kn*)时，ana2k12k12；当n2k(kn*)时，ana2k2k2.所以，an的通项公式为an(2)由(1)得bn.设bn的前n项和为sn，则sn123(n1)n，sn123(n1)n，上述两式相减，得sn12，整理得，sn4.所以数列bn的前n项和为4，nn*.22015济宁模拟现有甲、乙、丙三人参加某电视台的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0t0；p(2)p(0)0；p(2)p(3)0；又0t2，所以1t2，所以e()0，k，kz，k，kz，又|，f(x)msin，又f(0)msinm，m2，f(x)2sin.2某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨不相互影响(1)若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益；(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理解(1)设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6,3,1.5p(6)，p(3)，p(1.5)，所以的分布列为631.5p所以的数学期望为e()631.53.84，即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元(2)茶厂若采用方案，设茶厂第二天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3，因为p(6)，p(3)，所以的分布列为63p所以的数学期望为e()634.8，所以茶厂若采用方案则其采茶总收益为y164.83.8414.64，茶厂若采用方案则其采茶总收益为y2633.214.8，因为14.6414.8，所以茶厂应该采用方案收益高，风险小，和谐社会，提供就业岗位32015辽宁三校联考(二)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，底面为正三角形，点m在棱bb1上，ab4，aa15，平面a1mc平面acc1a1.(1)求证：m是棱bb1的中点；(2)求平面a1mc与平面abc所成锐二面角的余弦值解(1)证明：取ac中点o，连ob，在平面acc1a1上过o作ac垂线交a1c1于n.平面acc1a1平面abc.on平面abc，如图：以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，由已知：a(2,0,0)，b(0,2，0)，c(2,0,0)，a1(2,0,5)，b1(0,2，5)，c1(2,0,5)，m(0,2，m)，设n(x，y，z)为平面a1mc法向量，n(x，y，z)(4,0，5)4x5z0，n(x，y，z)(2,2，m)2x2ymz0，取x5，z4，y2m5，即：n(5，2m5，4)，又m(0,1,0)为平面acc1a1法向量，依题意：mn2m50，m，m为棱bb1的中点(2)由(1)知：n(5，2m5，4)为平面a1mc法向量，又a(0,0,1)为平面abc法向量，cosa，n，平面a1mc与平面abc所成锐二面角余弦值为.中档题专练(八)建议用时：30分钟1已知数列an与bn，若a13且对任意正整数n满足an1an2，数列bn的前n项和snn2an.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和tn.解(1)由题意知数列an是公差为2的等差数列，又因为a13，所以an2n1.当n1时，b1s14；当n2时，bnsnsn1(n22n1)(n1)22(n1)12n1，对b14不成立所以，数列bn的通项公式：bn(2)n1时，t1，n2时，所以tn.n1仍然适合上式综上，tn.2如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明：b1c1ce；(2)