高考数学试题分项版解析 专题05 平面向量 理（含解析）.doc

专题专题 0505 平面向量平面向量 1 2015 高考新课标 1 理 7 设d为abc 所在平面内一点3bccd 则 a 14 33 adabac b 14 33 adabac c 41 33 adabac d 41 33 adabac 答案 a 解析 由题知 11 33 adaccdacbcacacab 14 33 abac 故选 a 考点定位 平面向量的线性运算 名师点睛 本题以三角形为载体考查了平面向量的加法 减法及实数与向量的积的法则与运算性质 是 基础题 解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量ad 表示为accd 再用已知条件和向量 减法将cd 用 ab ac 表示出来 2 2015 高考山东 理 4 已知菱形abcd的边长为a 60abc 则bd cd a 2 3 2 a b 2 3 4 a c 2 3 4 a d 2 3 2 a 答案 d 解析 因为 bd cdbd bababcba 2 222 3 cos60 2 babc baaaa 故选 d 考点定位 平面向量的线性运算与数量积 名师点睛 本题考查了平面向量的基础知识 重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌 握 属基础题 要注意结合图形的性质 灵活运用向量的运算解决问题 3 2015 高考陕西 理 7 对任意向量 a b 下列关系式中不恒成立的是 a a ba b b abab c 22 abab d 22 ab abab 答案 b 解析 因为cos a ba ba ba b 所以选项 a 正确 当a 与b 方向相反时 abab 不成立 所以选项 b 错误 向量的平方等于向量的模的平方 所以选项 c 正确 22 ababab 所以选项 d 正确 故选 b 考点定位 1 向量的模 2 向量的数量积 名师点晴 本题主要考查的是向量的模和向量的数量积 属于容易题 解题时一定要抓住重要字眼 不 否则很容易出现错误 解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积 即cos a ba ba b 2 2 aa 4 2015 高考四川 理 7 设四边形 abcd 为平行四边形 6ab 4ad 若点 m n 满足 3bmmc 2dnnc 则am nm a 20 b 15 c 9 d 6 答案 c 解析 311 443 amabad nmcmcnadab 所以 221111 43 43 169 16 369 16 9 4124848 am nmabadabadabad aa 选 c 考点定位 平面向量 名师点睛 涉及图形的向量运算问题 一般应选两个向量作为基底 选基底的原则是这两个向量有尽量 多的已知元素 本题中 由于 6ab 4ad 故可选 ab ad 作为基底 5 2015 高考重庆 理 6 若非零向量a a b b满足 a a 2 2 3 b b 且 a a b b 3 3a a 2b b 则a a与b b的夹角 为 a 4 b 2 c 3 4 d 答案 a 考点定位 向量的夹角 名师点晴 本题考查两向量的夹角 涉及到向量的模 向量的垂直 向量的数量积等知识 体现了数学 问题的综合性 考查学生运算求解能力 综合运用能力 6 2015 高考安徽 理 8 c a 是边长为2的等边三角形 已知向量a b 满足2aa c2aba 则下列结论正确的是 a 1b b ab c 1a b d 4cab 答案 d 解析 如图 由题意 2 2bcacababab 则 2b 故a错误 2 2 2aa 所以 1a 又 2 2 2 4 22 2cos602ab acaabaab 所以1a b 故 b c错误 设 b c中点为d 则2abacad 且adbc 而22 2 4adaabab 所以 4cab 故选 d 考点定位 1 平面向量的线性运算 2 平面向量的数量积 名师点睛 平面向量问题中 向量的线性运算和数量积是高频考点 当出现线性运算问题时 注意两个 向量的差oaobba 这是一个易错点 两个向量的和2oaobod d点是ab的中点 另外 要选好基底向量 如本题就要灵活使用向量 ab ac 当涉及到向量数量积时 要记熟向量数 量积的公式 坐标公式 几何意义等 7 2015 高考福建 理 9 已知 1 abac abact t 若p 点是abc 所在平面内一点 且 4abac ap abac 则pb pc 的最大值等于 a 13 b 15 c 19 d 21 答案 a 解析 以a为坐标原点 建立平面直角坐标系 如图所示 则 1 0 b t 0 ct 1ap 0 4 0 1 1 4 即 1p 4 所以 1 1pb t 4 1pc t 4 因此x y b c a p pb pc 1 1416t t 1 17 4 t t 因为 11 4244tt tt 所以pb pc 的最大值等于13 当 1 4t t 即 1 2 t 时取等号 考点 1 平面向量数量积 2 基本不等式 名师点睛 本题考查平面向量线性运算和数量积运算 通过构建直角坐标系 使得向量运算完全代数化 实现了数形的紧密结合 同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题 本题容易出错的地方是对 ab ab 的理解不到位 从而导致解题 失败 8 2015 高考北京 理 13 在abc 中 点m n满足2ammc bnnc 若mnxabyac 则x y 答案 11 26 考点定位 本题考点为平面向量有关知识与计算 利用向量相等解题 名师点睛 本题考查平面向量的有关知识及及向量运算 利用向量相等条件求值 本题属于基础题 利 用坐标运算要建立适当的之间坐标系 准确写出相关点的坐标 向量的坐标 利用向量相等 列方程组 解出未知数的值 9 2015 高考湖北 理 11 已知向量oaab 3oa 则oa ob 答案 9 解析 因为oaab 3oa 所以oa ob 93 222 oaoboaoaaboaoa 考点定位 平面向量的加法法则 向量垂直 向量的模与数量积 名师点睛 平面向量是新教材新增内容 而且由于向量的双重 身份 是研究一些数学问题的工具 这 类问题难度不大 以考查基础知识为主 10 2015 高考天津 理 14 在等腰梯形abcd 中 已知 2 1 60abdc abbcabc 动点 e 和f 分别在线段bc 和dc 上 且 1 9 bebc dfdc 则ae af 的最小值为 答案 29 18 解析 因为 1 9 dfdc 1 2 dcab 11919 9918 cfdfdcdcdcdcab aeabbeabbc 1919 1818 afabbccfabbcababbc 22191919 1 181818 ae afabbcabbcabbcab bc 19199 42 1 cos120 1818 2117211729 2 9218921818 当且仅当 21 92 即 2 3 时ae af 的最小值为 29 18 b a d c e f 考点定位 向量的几何运算 向量的数量积与基本不等式 名师点睛 本题主要考查向量的几何运算 向量的数量积与基本不等式 运用向量的几何运算求 ae af 体现了数形结合的基本思想 再运用向量数量积的定义计算ae af 体现了数学定义的运用 再利用基 本不等式求最小值 体现了数学知识的综合应用能力 是思维能力与计算能力的综合体现 11 2015 高考浙江 理 15 已知1 2 e e 是空间单位向量 1 2 1 2 e e 若空间向量b 满足 12 5 2 2 b eb e 且对于任意 x yr 12010200 1 bxeyebx ey exyr 则 0 x 0 y b 答案 1 2 22 考点定位 1 平面向量的模长 2 函数的最值 名师点睛 本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解 属于较难题 分析题意可得问 题等价于 12 bxeye 当且仅当 0 xx 0 yy 时取到最小值 1 这是解决此题的关键突破口 也是最 小值的本质 两边平方后转化为一个关于x y的二元二次函数的最值求解 此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生 此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解 关于二元二次 函数求最值的问题 在 14 年杭州二模的试题出现过类似的问题 在复习时应予以关注 12 2015 高考新课标 2 理 13 设向量a b 不平行 向量ab 与2ab 平行 则实数 答案 1 2 解析 因为向量ab 与2ab 平行 所以2abk ab 则 12 k k 所以 1 2 考点定位 向量共线 名师点睛 本题考查向量共线 明确平面向量共线定理 利用待定系数法得参数的关系是解题关键 属于基础题 13 2015 江苏高考 14 设向量a ak cos sincos 0 1 2 12 666 kkk k 则 11 0k a akaa ak 1 的值 为 答案 9 3 解析 a akaa ak 1 1 1 1 cos sincos cos sincos 666666 kkkkkk 1 1 1 coscos sincos sincos 666666 kkkkkk 1 1 1 1 1 coscossinsin sincoscossin coscos 6666666666 kkkkkkkkkk 2 2 1 3231 cossincoscossincoscossin 66662626266 kkkkkkk 3231 sin 1cos sin 264343 kkk 3 321 21 sincos 4626 kk 因为 21 21 sincos 626 kk 的周期皆为6 一个周期的和皆为零 因此 11 0k a akaa ak 1 3 3 129 3 4 考点定位 向量数量积 三角函数性质 名师点晴 向量数量积在本题中仅是一个表示 实质是三角函数化简求和 首先根据角之间的差别与联 系 对通项进行重新搭配 对不可搭配的项再一次展开 重新配角搭配 这样将通项化为一次式 利用三 角函数周期性进行求和 作为压轴题 主要考查学生基础题型的识别与综合应用 14 2015 江苏高考 6 已知向量a a 1 2 b b 2 1 若ma a nb b 8 9 rnm 则nm 的值为 答案 3 解析 由题意得 29 282 5 3 mnmnmnmn 考点定位 向量相等 名师点晴 明确两向量相等的充要条件 它们的对应坐标相等 其实质为平面向量基本定理应用 向量 共线的充要条件的坐标表示 若 1122 axybxy 则a b 1221 0 x yx y 向量垂直的充要条 件的坐标表示 若 1122 axybxy 则a b 1212 0 x xy y 15 2015 高考湖南 理 8 已