数学思想期中论文.doc

题目：结合自己的专业，谈谈对数学的认识。一、专业的概况 我现在就读于2010级港口航道与海岸工程专业，首先我介绍下我们专业的情况：港口航道与海岸工程属于工学大类，水利类。本专业培养具备港口工程、航道工程、海岸工程的规划、设计、施工和管理等方面的知识，能在交通、水利、海岸开发等部门从事规划、设计、施工和管理等工作的高级工程技术人才。本专业学生主要学习港口工程、航道工程和海岸工程方面的基本理论和基本知识，受到制图、测量、运算、实验、综合分析和书写报告等方面的基本训练，具有工程规划、设计、施工和管理方面的基本能力。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1掌握工程力学、海岸动力学和建筑结构学科的基本理论、基本知识； 2掌握港口工程、航道工程和海岸工程的设计方法； 3具有从事工程规划、勘测、设计、施工和管理的基本能力； 4熟悉国家有关的方针、政策和法规； 5了解港口工程、航道工程和海岸工程的发展动态； 6掌握文献检索、资料查询的基本方法，具有初步的科学研究和实际工作能力。二、专业修过的数学从专业的概况来看，专业中对于数学的需求是必不可少的，从大一到现在，我修过了高等数学上下册、线性代数、概率论与数理统计，系统的学习了微积分、画法几何、代数、概率等数学的精髓，为物理类专业学科的学习提供了数学基础。专业课程中主干学科：土木工程、水利工程、船舶与海洋工程。主要课程：水力学、工程水文学、土力学、理论力学、材料力学、结构力学、钢筋混凝土、河流动力学、海岸动力学、港口工程学、航道工程学、海岸工程学、桩基工程、水运工程施工、港口水工建筑物这些学科大部分都是数学与物理分析相结合。三、专业离不开数学 当今社会，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学与其他学科的相互结合，产生了以数学为基础的各种学科，包括经济类、理科、工科等等都对数学中的定理与分析方法都进行了借鉴与引进，而对于港口工程专业来讲，数学是进行港口建筑、海浪分析、海洋能开发、河坝建设的基础，工程的建设需要工程师进行计算设计，如果没有数学，建筑物不可能凭空造出，通过数学计算能保证建筑物的各方面要求的性能、精度与质量。四、数学在建筑工程的应用几千年来，数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源，也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术的手段。角锥、棱柱、黄金矩形、视错觉、立方体、多面体、网格球顶、三角形、毕达哥拉斯定理、正方形、矩形平行四边形、圆、半圆、球、半球、多边形角、对称抛物线、悬链线、双曲抛物面、比例重心、螺线、螺旋线、镶嵌图案、透视，这些都是数学所研究的范围。一些历史上的例子：为建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而计算石块的大小、形状、数量和排列的工作，依靠的是有关直角三角形、正方形、毕达哥拉斯定理、体积和估计的知识，秘鲁古迹马丘比丘的设计的规则性，没有几何计划是不可能的。希腊雅典的巴台农神庙的构造依靠的是利用黄金矩形、视错觉、精密测量和将标准尺寸的柱子切割成呈精确规格（永远使直径成为高度的 13）的比例知识。埃皮扎夫罗斯古剧场的布局和位置的几何精确性经过专门计算，以提高音响效果，并使观众的视域达到最大。圆、半圆、半球和拱顶的创新用法成了罗马建筑师引进并加以完善的主要数学思想。拜占庭时期的建筑师将正方形、圆、立方体和半球的概念与拱顶漂亮地结合在一起，就像君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中所用的那样哥特式教堂的建筑师用数学确定重心，以构成一个可调整的几何设计，使拱顶汇于一点，将石结构的巨大重量引回地面，而不是横向引出。文艺复兴时期的石结构显示出对称方面的精心设计，它是依靠明和暗、实和虚来实现的。随着新建筑材料的发现，人们便用一些新的数学思想来使这些材料的潜力达到最大。利用品种繁多的现成建筑材料石、木、砖、混凝土、铁、钢、玻璃、合成材料（如塑料）、钢筋混凝土、预应力混凝土，建筑师们实际上已经能设计任何形状。我们现在已经目睹了各种构造：双曲抛物面（旧金山的圣玛丽教堂）、巴克明斯特?富勒的网格结构、保罗?索莱里的模数制设计、抛物线飞机吊架、模仿游牧民帐篷的立体合成结构、支撑东京奥林匹克体育馆的悬链线缆索，甚至还有带着椭圆形圆顶天花板的八边形住宅。五、我对数学的理解认识力学是数学科学的乐园，因为我们在这里获得数学的果实。伦纳多达芬奇达芬奇是一个画家，同时也是一位数学家与建筑师，牛顿通过研究物理定律而发现了微积分，而达芬奇却将数学应用到了他最擅长的绘画中，在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。从数学与其它学科的关系来看数学在我看来数学与其他学科的关系是以下几方面：1、数学是一种语言，是一种科学的共同语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人类社会就是用数学语言写成的一本大书。2、培根（）说：“数学是打开科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”3、数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年，后来遇到数学家的工作，即R变换，考尔麦克（）把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说，这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再用数学技巧来重构三维图像而已。另一个例子：现代经济学家使数学进入了经济学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场的经济行为，这方面的工作使阿洛（A）获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很大的成就。4、数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。这里突出地谈一谈简洁性。A、数学问题提得简洁。这是因为数学突出了本质的因素，必然是简洁的。例如尺规作图三分角问题。B、数学语言是精炼的。例如欧拉公式：ix =把实数域中看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域中巧妙地联系在一起。其特例：把0、1、e、五个重要常数简单而巧妙的结合在一起，太神奇了。又如，爱因斯坦把茫茫宇宙中的质能关系，用简单地表达出来，简单得令人拍案叫绝。 C、数学概念是简洁的。数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念：1673年，莱布尼兹定义：函数就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动。1821年，柯西定义：对于X的每个值，如果Y有完全确定的值与之对应，则Y叫做X的函数。近代定义：设有A、B 是非空的集合，是A到B的一个对应法则，则A到B的映射：AB称为A到B上的函数。一步一步更简洁、更具一般性。D、数学证明是简洁的。数学的目的就是尽可能用简单而基本的词汇尽可能地解释世界。因此，如果我们积累的经验要一代一代传下去的话，就必须不断地努力把它们加以简化和统一。所以，对于工科生来说，恐怕要无时无刻要与数学打交道，数学的魅力在于它很有效地解决了实际工程问题，所以数学这个工具很好用，将在工程中发挥更大的作用。罗素悖论的提出解决及带来的影响及作用一、什么是罗素悖论罗素悖论语言表达形式：所有不包含自己作为元素的集合的集合M，如果M是它本身的一个元素，它应该不是；如果M不是它本身的元素，它又应该是罗素悖论的例子：。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。二、罗素悖论的影响十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了” 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的算数的基本法则完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。 罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：1、理查德悖论 2、培里悖论 3格瑞林和纳尔逊悖论。三、罗素悖论问题的解决罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论在本质上存在两种选择1908年，策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素xB当且仅当xA且P(x)；因此xx是一个集合并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A=xx是一个集合在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。 除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类(class)，因此某些集合也能被称为class，但是某些collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。这同样也避免了罗素悖论。 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现